Differentiaalrekening
OptimalisatieEdit
Als f een differentieerbare functie is op ℝ (of een open interval) en x is een lokaal maximum of een lokaal minimum van f, dan is de afgeleide van f bij x gelijk aan nul. Punten waar f'(x) = 0 heten kritische punten of stationaire punten (en de waarde van f bij x heet een kritische waarde). Indien niet wordt aangenomen dat f overal differentieerbaar is, dan worden de punten waar hij niet differentieerbaar is ook kritische punten genoemd.
Als f tweemaal differentieerbaar is, dan kan omgekeerd een kritisch punt x van f worden geanalyseerd door de tweede afgeleide van f bij x te beschouwen :
- als deze positief is, is x een lokaal minimum;
- als deze negatief is, is x een lokaal maximum;
- als deze nul is, dan kan x een lokaal minimum, een lokaal maximum, of geen van beide zijn. (Bijvoorbeeld, f(x) = x3 heeft een kritisch punt bij x = 0, maar heeft daar noch een maximum noch een minimum, terwijl f(x) = ± x4 een kritisch punt bij x = 0 heeft en daar respectievelijk een minimum en een maximum.)
Dit wordt de tweede afgeleide test genoemd. Een alternatieve benadering, de eerste afgeleideproef genoemd, houdt in dat het teken van de f’ aan weerszijden van het kritieke punt wordt bekeken.
Het nemen van afgeleiden en het oplossen van kritieke punten is daarom vaak een eenvoudige manier om lokale minima of maxima te vinden, wat nuttig kan zijn bij optimalisatie. Volgens de extreme-waardetheorema moet een continue functie op een gesloten interval ten minste eenmaal haar minimum- en maximumwaarde bereiken. Als de functie differentieerbaar is, kunnen de minima en maxima alleen voorkomen op kritische punten of eindpunten.
Dit heeft ook toepassingen in het schetsen van grafieken: zodra de lokale minima en maxima van een differentieerbare functie zijn gevonden, kan een ruwe plot van de grafiek worden verkregen uit de waarneming dat de grafiek tussen de kritische punten stijgend of dalend zal zijn.
In hogere dimensies is een kritisch punt van een scalair gewaardeerde functie een punt waar de gradiënt nul is. De test van de tweede afgeleide kan nog steeds worden gebruikt om kritische punten te analyseren door de eigenwaarden van de Hessiaanse matrix van tweede partiële afgeleiden van de functie in het kritische punt te beschouwen. Indien alle eigenwaarden positief zijn, is het punt een lokaal minimum; indien alle eigenwaarden negatief zijn, is het een lokaal maximum. Als er enkele positieve en enkele negatieve eigenwaarden zijn, dan wordt het kritieke punt een “zadelpunt” genoemd, en als geen van deze gevallen geldt (d.w.z., sommige eigenwaarden zijn nul) dan wordt de test als onbeslist beschouwd.
VariatieberekeningEdit
Een voorbeeld van een optimalisatieprobleem is: Vind de kortste kromme tussen twee punten op een oppervlak, ervan uitgaande dat de kromme ook op het oppervlak moet liggen. Indien het oppervlak een vlak is, dan is de kortste kromme een lijn. Maar als het oppervlak bijvoorbeeld eivormig is, dan is het kortste pad niet meteen duidelijk. Deze paden heten geodeten, en een van de meest fundamentele problemen in de calculus van variaties is het vinden van geodeten. Een ander voorbeeld is: Vind het oppervlak met het kleinste oppervlak dat een gesloten kromme in de ruimte invult. Dit oppervlak heet een minimaal oppervlak en ook dit kan gevonden worden met behulp van de variatierekening.
NatuurkundeEdit
Calculus is van vitaal belang in de natuurkunde: veel natuurkundige processen worden beschreven door vergelijkingen met afgeleiden, differentiaalvergelijkingen genoemd. De natuurkunde houdt zich vooral bezig met de manier waarop grootheden veranderen en zich ontwikkelen in de tijd, en het begrip “tijdafgeleide” – de snelheid van verandering in de tijd – is essentieel voor de nauwkeurige definitie van verschillende belangrijke begrippen. In het bijzonder zijn de tijdsafgeleiden van de positie van een voorwerp van belang in de Newtoniaanse natuurkunde:
- snelheid is de afgeleide (ten opzichte van de tijd) van de verplaatsing van een voorwerp (afstand ten opzichte van de oorspronkelijke positie)
- versnelling is de afgeleide (ten opzichte van de tijd) van de snelheid van een voorwerp, dat wil zeggen de tweede afgeleide (ten opzichte van de tijd) van de positie van een voorwerp.
Bij voorbeeld, als de positie van een voorwerp op een lijn wordt gegeven door
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
dan is de snelheid van het voorwerp
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {{x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
en de versnelling van het voorwerp is
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x”(t)=-32,\,\!}
die constant is.
DifferentiaalvergelijkingenEdit
Een differentiaalvergelijking is een verband tussen een verzameling functies en hun afgeleiden. Een gewone differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking die functies van één variabele relateert aan hun afgeleiden ten opzichte van die variabele. Een partiële differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking die functies van meer dan één variabele relateert aan hun partiële afgeleiden. Differentiaalvergelijkingen komen van nature voor in de natuurwetenschappen, bij wiskundige modellering, en binnen de wiskunde zelf. Bijvoorbeeld, de tweede wet van Newton, die het verband tussen versnelling en kracht beschrijft, kan worden gesteld als de gewone differentiaalvergelijking
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}.}
De warmtevergelijking in één ruimtevariabele, die beschrijft hoe warmte zich door een rechte staaf verspreidt, is de partiële differentiaalvergelijking
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partiële u}{\partiële t}}=\alpha {\frac {\partiële ^{2}u}{\partiële x^{2}}.}
Hier is u(x,t) de temperatuur van de staaf op positie x en tijdstip t en α is een constante die afhangt van hoe snel de warmte door de staaf diffundeert.(2-3¡)-(3+2)
Gemiddelde-waarde stellingEdit
met a < b {{displaystyle a<b}
er is een c ∈ ( a , b ) {\anwijze c in (a,b)}
met f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {{\displaystyle f'(c)={{tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}
.
De gemiddelde-waardetheorema geeft een verband tussen waarden van de afgeleide en waarden van de oorspronkelijke functie. Als f(x) een reële functie is en a en b getallen zijn met a < b, dan zegt de gemiddelde-waardetheorema dat onder milde hypothesen de helling tussen de twee punten (a, f(a)) en (b, f(b)) gelijk is aan de helling van de raaklijn aan f in een punt c tussen a en b. Met andere woorden,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {Displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
In de praktijk controleert de gemiddelde-waardetheorema een functie in termen van zijn afgeleide. Stel bijvoorbeeld dat f in elk punt een afgeleide heeft die gelijk is aan nul. Dit betekent dat de raaklijn horizontaal is in elk punt, dus moet de functie ook horizontaal zijn. De middelwaardetheorema bewijst dat dit waar moet zijn: de helling tussen twee willekeurige punten op de grafiek van f moet gelijk zijn aan de helling van een van de raaklijnen van f. Al die hellingen zijn nul, dus elke lijn van een punt op de grafiek naar een ander punt zal ook helling nul hebben. Maar dat betekent dat de functie niet omhoog of omlaag beweegt, dus moet het een horizontale lijn zijn. Ingewikkelder voorwaarden voor de afgeleide leiden tot minder nauwkeurige, maar nog steeds zeer nuttige informatie over de oorspronkelijke functie.
Taylor-polynomen en Taylor-reeksenEdit
De afgeleide geeft de best mogelijke lineaire benadering van een functie in een gegeven punt, maar deze kan sterk afwijken van de oorspronkelijke functie. Een manier om de benadering te verbeteren is een kwadratische benadering te nemen. Dat wil zeggen, de linearisering van een reele functie f(x) in het punt x0 is een lineaire polynoom a + b(x – x0), en het is mogelijk een betere benadering te krijgen door een kwadratische polynoom a + b(x – x0) + c(x – x0)2 te beschouwen. Nog beter zou een kubische veelterm kunnen zijn a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, en dit idee kan worden uitgebreid tot veeltermen van willekeurig hoge graad. Voor elk van deze veeltermen moet er een zo goed mogelijke keuze van coëfficiënten a, b, c, en d zijn die de benadering zo goed mogelijk maakt.
In de buurt van x0 is voor a de best mogelijke keuze altijd f(x0), en voor b is de best mogelijke keuze altijd f'(x0). Voor c, d, en coëfficiënten van hogere graad, worden deze coëfficiënten bepaald door hogere afgeleiden van f. c moet altijd f”(x0)/2 zijn, en d moet altijd f”(x0)/3 zijn! Gebruik van deze coëfficiënten geeft de Taylor-polynoom van f. De Taylor-polynoom van graad d is de polynoom van graad d die f het best benadert, en zijn coëfficiënten kunnen gevonden worden door een veralgemening van de bovenstaande formules. De stelling van Taylor geeft een precieze limiet voor hoe goed de benadering is. Als f een polynoom is van graad kleiner dan of gelijk aan d, dan is de Taylor-polynoom van graad d gelijk aan f.
De limiet van de Taylor-polynomen is een oneindige reeks die de Taylor-reeks wordt genoemd. De Taylorreeks is vaak een zeer goede benadering van de oorspronkelijke functie. Functies die gelijk zijn aan hun Taylor-reeks worden analytische functies genoemd. Het is onmogelijk dat functies met discontinuïteiten of scherpe hoeken analytisch zijn; bovendien bestaan er gladde functies die evenmin analytisch zijn.
Impliciete functietheoremaEdit
Enkele natuurlijke meetkundige vormen, zoals cirkels, kunnen niet getekend worden als de grafiek van een functie. Bijvoorbeeld, als f(x, y) = x2 + y2 – 1, dan is de cirkel de verzameling van alle paren (x, y) zo dat f(x, y) = 0. Deze verzameling wordt de nulverzameling van f genoemd, en is niet hetzelfde als de grafiek van f, die een paraboloïde is. De impliciete functietheorema zet relaties zoals f(x, y) = 0 om in functies. Zij stelt dat als f continu differentieerbaar is, de nulpuntenverzameling van f er rond de meeste punten uitziet als een aan elkaar geplakte grafiek van functies. De punten waar dat niet zo is, worden bepaald door een voorwaarde aan de afgeleide van f. De cirkel bijvoorbeeld kan aan elkaar geplakt worden uit de grafieken van de twee functies ± √1 – x2. In een buurt van elk punt op de cirkel behalve (-1, 0) en (1, 0), heeft een van deze twee functies een grafiek die lijkt op de cirkel. (Deze twee functies komen toevallig ook samen met (-1, 0) en (1, 0), maar dit wordt niet gegarandeerd door de impliciete functietheorema.)
De impliciete functietheorema is nauw verwant aan de inverse functietheorema, die aangeeft wanneer een functie lijkt op grafieken van aan elkaar geplakte inverteerbare functies.