Álgebra inicial
Objetivos de aprendizaje
- Planificar pares ordenados
- Identificar los componentes del plano de coordenadas
- Trazar pares ordenados en el plano de coordenadas
- Identificar cuadrantes en el plano de coordenadas
- Identificar los cuatro cuadrantes de un plano de coordenadas
- Dado un par ordenado, determinar su cuadrante
El plano de coordenadas fue desarrollado hace siglos (en 1637, para ser exactos) y perfeccionado por el matemático francés René Descartes. En su honor, el sistema se denomina a veces sistema de coordenadas cartesianas. El plano de coordenadas puede utilizarse para trazar puntos y graficar líneas. Este sistema nos permite describir relaciones algebraicas en un sentido visual, y también nos ayuda a crear e interpretar conceptos algebraicos.
Los componentes del plano de coordenadas
Es probable que hayas utilizado un plano de coordenadas antes. Por ejemplo, ¿has utilizado alguna vez una superposición de cuadrículas para trazar la posición de un objeto? (Esto también se hace a menudo con los mapas de carreteras.)
Este «mapa» utiliza una cuadrícula horizontal y vertical para transmitir información sobre la ubicación de un objeto. Fíjate en que las letras A-F aparecen en la parte superior y los números 1-6 en el borde izquierdo. La ubicación general de cualquier elemento en este mapa puede encontrarse utilizando la letra y el número de su cuadrícula. Por ejemplo, puede encontrar el elemento que existe en la casilla «4F» moviendo su dedo a lo largo de la horizontal hasta la letra F y luego en línea recta hacia abajo para que esté en línea con el 4. Encontrará un disco azul en esta ubicación en el mapa.
El plano de coordenadas tiene elementos similares a la cuadrícula mostrada anteriormente. Consta de un eje horizontal y un eje vertical, líneas numéricas que se cruzan en ángulo recto. (Son perpendiculares entre sí.)
El eje horizontal en el plano de coordenadas se llama eje x. El eje vertical se llama eje y. El punto de intersección de los dos ejes se llama origen. El origen está en 0 en el eje x y 0 en el eje y.
Las ubicaciones en el plano de coordenadas se describen como pares ordenados. Un par ordenado indica la ubicación de un punto relacionando la ubicación del punto a lo largo del eje x (el primer valor del par ordenado) y a lo largo del eje y (el segundo valor del par ordenado).
En un par ordenado, como (x, y), el primer valor se llama coordenada x y el segundo valor es la coordenada y. Obsérvese que la coordenada x aparece antes que la coordenada y. Como el origen tiene una coordenada x de 0 y una coordenada y de 0, su par ordenado se escribe (0, 0).
Considera el punto de abajo.
Para identificar la ubicación de este punto, empieza en el origen (0, 0) y muévete hacia la derecha a lo largo del eje x hasta que estés debajo del punto. Fíjate en la etiqueta del eje x. El 4 indica que, desde el origen, has viajado cuatro unidades a la derecha a lo largo del eje x. Esta es la coordenada x, el primer número del par ordenado.
Desde el 4 en el eje x sube al punto y fíjate en el número con el que se alinea en el eje y. El 3 indica que, tras dejar el eje x, has viajado 3 unidades hacia arriba en la dirección vertical, la del eje y. Este número es la coordenada y, el segundo número del par ordenado. Con una coordenada x de 4 y una coordenada y de 3, tienes el par ordenado (4, 3).
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo
Describe el punto que se muestra como un par ordenado.
Describe el punto mostrado como un par ordenado
Planificación de puntos en el plano de coordenadas
Ahora que sabes cómo utilizar los ejes x e y, también puedes trazar un par ordenado. Sólo recuerda que ambos procesos comienzan en el origen, ¡el principio! El ejemplo que sigue muestra cómo graficar el par ordenado (1,3).
Ejemplo
Traza el punto (1, 3).
En el ejemplo anterior, tanto las coordenadas x como las y eran positivas. Cuando una (o ambas) de las coordenadas de un par ordenado es negativa, tendrá que moverse en la dirección negativa a lo largo de uno o ambos ejes. Considera el siguiente ejemplo en el que ambas coordenadas son negativas.
Ejemplo
Plotea el punto (-4,-2).
La coordenada x es -4 porque viene primero en el par ordenado. Comienza en el origen y mueve 4 unidades en dirección negativa (hacia la izquierda) a lo largo del eje x.
La coordenada y es -2 porque viene en segundo lugar en el par ordenado. Ahora mueve 2 unidades en dirección negativa (hacia abajo). Si miras hacia el eje y, deberías estar alineado con -2 en ese eje.
Los pasos para trazar un punto se resumen a continuación.
Pasos para trazar un par ordenado (x, y) en el plano de coordenadas
- Determina la coordenada x. Empezando en el origen, muévete horizontalmente, en la dirección del eje x, la distancia dada por la coordenada x. Si la coordenada x es positiva, muévase hacia la derecha; si la coordenada x es negativa, muévase hacia la izquierda.
- Determine la coordenada y. Comenzando en la coordenada x, muévase verticalmente, la dirección del eje y, la distancia dada por la coordenada y. Si la coordenada y es positiva, muévase hacia arriba; si la coordenada y es negativa, muévase hacia abajo.
- Dibuje un punto en la ubicación final. Etiquete el punto con el par ordenado.
Planificación de puntos en el plano de coordenadas
Identifique los cuadrantes y utilícelos para trazar puntos
Los ejes x e y de intersección del plano de coordenadas lo dividen en cuatro secciones. Estas cuatro secciones se llaman cuadrantes. Los cuadrantes se nombran utilizando los números romanos I, II, III y IV, empezando por el cuadrante superior derecho y moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj.
Los pares ordenados dentro de cualquier cuadrante particular comparten ciertas características. Observa cada cuadrante del gráfico siguiente. ¿Qué notas sobre los signos de las coordenadas x e y de los puntos dentro de cada cuadrante?
Dentro de cada cuadrante, los signos de las coordenadas x e y de cada par ordenado son los mismos. Además, siguen un patrón, que se indica en la siguiente tabla.
| Cuadrante | Forma general del punto en este cuadrante | Ejemplo | Descripción |
|---|---|---|---|
| I | (+,+) | (5,4) | A partir del origen, recorre el eje x en dirección positiva (derecha) y el eje y en dirección positiva (arriba). |
| II | (-,+) | (-5,4) | A partir del origen, recorre el eje x en dirección negativa (izquierda) y el eje y en dirección positiva (arriba). |
| III | (-,-) | (-5,-4) | A partir del origen, recorre el eje x en dirección negativa (izquierda) y el eje y en dirección negativa (abajo). |
| IV | (+,-) | (5,-4) | A partir del origen, recorre el eje x en dirección positiva (derecha) y el eje y en dirección negativa (abajo). |
Una vez que conoces los cuadrantes en el plano de coordenadas, puedes determinar el cuadrante de un par ordenado sin ni siquiera graficarlo mirando la tabla anterior. Aquí hay otra forma de pensar en ello.
El ejemplo siguiente detalla cómo determinar la ubicación en el cuadrante de un punto sólo pensando en los signos de sus coordenadas. Pensar en la ubicación del cuadrante antes de trazar un punto puede ayudarte a evitar un error. También es un conocimiento útil para comprobar que has trazado un punto correctamente.
Ejemplo
¿En qué cuadrante se encuentra el punto (-7,10)?
Ejemplo
¿En qué cuadrante se encuentra el punto (-10,-5)?
¿Qué ocurre si un par ordenado tiene una coordenada x o y de cero? El ejemplo siguiente muestra la gráfica del par ordenado (0,4).
Un punto situado en uno de los ejes no se considera que esté en un cuadrante. Simplemente está en uno de los ejes. Siempre que la coordenada x sea 0, el punto está situado en el eje y. Del mismo modo, cualquier punto que tenga una coordenada y de 0 estará situado en el eje x.
Identificar cuadrantes y utilizarlos para trazar puntos
Resumen
El plano de coordenadas es un sistema para graficar y describir puntos y líneas. El plano de coordenadas está compuesto por un eje horizontal (x-) y un eje vertical (y-). La intersección de estas líneas crea el origen, que es el punto (0,0). El plano de coordenadas se divide en cuatro cuadrantes. En conjunto, estas características del sistema de coordenadas permiten la representación gráfica y la comunicación sobre puntos, líneas y otros conceptos algebraicos.