Aceleración angular
Partícula en dos dimensionesEditar
En dos dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que cambia la velocidad angular orbital bidimensional de la partícula alrededor del origen. La velocidad angular instantánea ω en cualquier punto del tiempo viene dada por
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{perp }}{r}}
,
donde r {\displaystyle r}
es la distancia al origen y v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
es la componente radial transversal de la velocidad instantánea (es decir, la componente perpendicular al vector de posición), que por convención es positiva para el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj y negativa para el movimiento en sentido de las agujas del reloj.
Por tanto, la aceleración angular instantánea α de la partícula viene dada por
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={frac {d}{dt}}({\frac {v_{perp }}})}
.
Expandiendo el lado derecho usando la regla del producto del cálculo diferencial, esto se convierte en
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={frac {1}{r}{frac {dv_{perp }}{dt}-{frac {v_{perp }}{r^{2}}{frac {dr}{dt}}
.
En el caso especial en que la partícula experimenta un movimiento circular alrededor del origen, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{perp }}{dt}
se convierte sólo en la aceleración tangencial a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }}
, y d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}
desaparece (ya que la distancia al origen se mantiene constante), por lo que la ecuación anterior se simplifica a α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={{frac {a_{perp }}{r}}
.
En dos dimensiones, la aceleración angular es un número con signo más o menos que indica la orientación, pero no señala una dirección. El signo se toma convencionalmente como positivo si la velocidad angular aumenta en el sentido contrario a las agujas del reloj o disminuye en el sentido de las agujas del reloj, y el signo se toma como negativo si la velocidad angular aumenta en el sentido de las agujas del reloj o disminuye en el sentido contrario. La aceleración angular puede entonces denominarse pseudoescalar, una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad, como la inversión de un eje o la conmutación de los dos ejes.
Partícula en tres dimensionesEditar
En tres dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que el vector de velocidad angular orbital tridimensional cambia con el tiempo. El vector velocidad angular instantánea ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}
en cualquier punto del tiempo viene dado por ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \N – veces \N -mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
donde r {{displaystyle \mathbf {r}} }
es el vector de posición de la partícula y v {\displaystyle \mathbf {v} }
es su vector de velocidad.
Por tanto, la aceleración angular orbital es el vector α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}
definido por α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}= {\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}})}
.
Expandiendo esta derivada mediante la regla del producto para los productos cruzados y la regla del cociente ordinario, se obtiene:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{símbolo de negrita}&={frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r} \veces {\frac {\mathbf {v} }{dt}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt} )-{{frac {2}{r^{3}} {{frac {dr}{dt}(\mathbf {r} {tiempos \mathbf {v} )\\\\&={frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r} {tiempos \a} +{mathbf {v} {tiempos \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}} {\frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={frac {\mathbf {r} \tiempos de la máquina. {{r^{2}}-{{frac {2}{r^{3}} {{frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} {tiempos \mathbf {v} ).\i}
Dado que r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
es sólo r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}
, el segundo término puede reescribirse como – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{{frac {2}{r}} {{frac {dr}{dt}} {\boldsymbol {\omega }}
. En el caso de que la distancia r {\displaystyle r}
de la partícula desde el origen no cambia con el tiempo (lo que incluye el movimiento circular como subcaso), el segundo término desaparece y la fórmula anterior se simplifica a α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}= {\frac {\mathbf {r} \por tiempo de \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
A partir de la ecuación anterior, se puede recuperar la aceleración radial cruzada en este caso especial como:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{perp }={símbolo de negrita {alfa}}veces \mathbf {r}}. }
.
A diferencia de lo que ocurre en dos dimensiones, la aceleración angular en tres dimensiones no tiene por qué estar asociada a un cambio en la velocidad angular: si el vector de posición de la partícula se «retuerce» en el espacio de forma que su plano instantáneo de desplazamiento angular (es decir el plano instantáneo en el que el vector de posición barre el ángulo) cambia continuamente con el tiempo, entonces incluso si la velocidad angular (es decir, la velocidad a la que el vector de posición barre el ángulo) es constante, seguirá habiendo una aceleración angular no nula porque la dirección del vector de velocidad angular cambia continuamente con el tiempo. Esto no puede ocurrir en dos dimensiones porque el vector de posición está restringido a un plano fijo de modo que cualquier cambio en la velocidad angular debe ser a través de un cambio en su magnitud.
El vector de aceleración angular es más propiamente llamado pseudovector: Tiene tres componentes que se transforman bajo rotaciones de la misma manera que las coordenadas cartesianas de un punto, pero que bajo reflexiones no se transforman como las coordenadas cartesianas.
Relación con el par de torsiónEditar
El par de torsión neto sobre una partícula puntual se define como el pseudovector
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \por \Nmathbf {F} }
,
donde F {{displaystyle \mathbf {F}} }
es la fuerza neta sobre la partícula.
El par es el análogo rotacional de la fuerza: induce cambios en el estado rotacional de un sistema, al igual que la fuerza induce cambios en el estado traslacional de un sistema. Dado que la fuerza neta sobre una partícula puede conectarse a la aceleración de la misma mediante la ecuación F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, se puede esperar construir una relación similar que conecte el par neto sobre una partícula con la aceleración angular de la misma. Esto puede hacerse de la siguiente manera:
Primero, sustituyendo F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
en la ecuación anterior del par, se obtiene τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \a veces, el tiempo de la matemática de la tierra. )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}})}
.
Pero de la sección anterior se deriva que
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} {{r^{2}}}-{{frac {2}{r}} {{frac {dr}{dt}} {{boldsymbol {\omega }}
,
donde α {{displaystyle} {{símbolo de negrita}} {{alpha}}
es la aceleración angular orbital de la partícula y ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}
es la velocidad angular orbital de la partícula. Por tanto, se deduce que τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{símbolo de negrita}&=mr^{2}({símbolo de negrita}+{2}{r}{frac {dr}{dt}} {\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\Fin.
En el caso especial de que la distancia r {\displaystyle r}
de la partícula desde el origen no cambia con el tiempo, el segundo término de la ecuación anterior desaparece y la ecuación anterior se simplifica a τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}
,
que puede interpretarse como un «análogo rotacional» de F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } }
, donde la cantidad m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(conocida como el momento de inercia de la partícula) juega el papel de la masa m {\displaystyle m}