Cálculo diferencial
OptimizaciónEditar
Si f es una función diferenciable en ℝ (o un intervalo abierto) y x es un máximo o un mínimo local de f, entonces la derivada de f en x es cero. Los puntos donde f'(x) = 0 se llaman puntos críticos o estacionarios (y el valor de f en x se llama valor crítico). Si se supone que f no es diferenciable en todas partes, los puntos en los que no es diferenciable también se denominan puntos críticos.
Si f es doblemente diferenciable, entonces a la inversa, un punto crítico x de f puede analizarse considerando la segunda derivada de f en x :
- si es positiva, x es un mínimo local;
- si es negativa, x es un máximo local;
- si es cero, entonces x podría ser un mínimo local, un máximo local, o ninguno de los dos. (Por ejemplo, f(x) = x3 tiene un punto crítico en x = 0, pero no tiene ni un máximo ni un mínimo allí, mientras que f(x) = ± x4 tiene un punto crítico en x = 0 y un mínimo y un máximo, respectivamente, allí.)
Esto se llama la prueba de la segunda derivada. Un enfoque alternativo, llamado prueba de la primera derivada, implica considerar el signo de la f’ a cada lado del punto crítico.
Tomar derivadas y resolver los puntos críticos es, por tanto, a menudo una forma sencilla de encontrar mínimos o máximos locales, que pueden ser útiles en la optimización. Según el teorema del valor extremo, una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar sus valores mínimos y máximos al menos una vez. Si la función es diferenciable, los mínimos y los máximos sólo pueden ocurrir en los puntos críticos o en los puntos extremos.
Esto también tiene aplicaciones en el trazado de gráficos: una vez que se han encontrado los mínimos y los máximos locales de una función diferenciable, se puede obtener un trazado aproximado del gráfico a partir de la observación de que será creciente o decreciente entre los puntos críticos.
En dimensiones superiores, un punto crítico de una función de valor escalar es un punto en el que el gradiente es cero. La prueba de la segunda derivada puede seguir utilizándose para analizar los puntos críticos considerando los valores propios de la matriz hessiana de segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los valores propios son positivos, el punto es un mínimo local; si todos son negativos, es un máximo local. Si hay algunos valores propios positivos y otros negativos, entonces el punto crítico se denomina «punto de silla de montar», y si no se da ninguno de estos casos (es decir, algunos de los valores propios son cero) entonces la prueba se considera inconclusa.
Cálculo de variacionesEditar
Un ejemplo de problema de optimización es: Encontrar la curva más corta entre dos puntos de una superficie, suponiendo que la curva debe estar también sobre la superficie. Si la superficie es un plano, entonces la curva más corta es una línea. Pero si la superficie tiene, por ejemplo, forma de huevo, entonces el camino más corto no está inmediatamente claro. Estos caminos se llaman geodésicos, y uno de los problemas más fundamentales del cálculo de variaciones es encontrar geodésicos. Otro ejemplo es: Encontrar la superficie más pequeña que rellena una curva cerrada en el espacio. Esta superficie se llama superficie mínima y también se puede encontrar utilizando el cálculo de variaciones.
FísicaEditar
El cálculo es de vital importancia en la física: muchos procesos físicos se describen mediante ecuaciones que implican derivadas, llamadas ecuaciones diferenciales. La física se ocupa especialmente de la forma en que las cantidades cambian y se desarrollan con el tiempo, y el concepto de «derivada del tiempo» -la tasa de cambio con el tiempo- es esencial para la definición precisa de varios conceptos importantes. En particular, las derivadas temporales de la posición de un objeto son significativas en la física newtoniana:
- la velocidad es la derivada (con respecto al tiempo) del desplazamiento de un objeto (distancia desde la posición original)
- la aceleración es la derivada (con respecto al tiempo) de la velocidad de un objeto, es decir, la segunda derivada (con respecto al tiempo) de la posición de un objeto.
Por ejemplo, si la posición de un objeto en una línea viene dada por
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,}
entonces la velocidad del objeto es
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\\}
y la aceleración del objeto es
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}(t)=x»(t)=-32,\!}
que es constante.
Ecuaciones diferencialesEditar
Una ecuación diferencial es una relación entre un conjunto de funciones y sus derivadas. Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial que relaciona funciones de una variable con sus derivadas respecto a esa variable. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial que relaciona funciones de más de una variable con sus derivadas parciales. Las ecuaciones diferenciales surgen de forma natural en las ciencias físicas, en la modelización matemática y en las propias matemáticas. Por ejemplo, la segunda ley de Newton, que describe la relación entre la aceleración y la fuerza, puede enunciarse como la ecuación diferencial ordinaria
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}.}
La ecuación del calor en una variable espacial, que describe cómo se difunde el calor a través de una varilla recta, es la ecuación diferencial parcial
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\frac {\frac ^{2}u}{\partial x^{2}}.}
Aquí u(x,t) es la temperatura de la varilla en la posición x y el tiempo t y α es una constante que depende de la rapidez con que el calor se difunde a través de la varilla.(2-3¡)-(3+2)
Teorema del valor medioEditar
con a < b {\displaystyle a<b}
existe un c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)}
con f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}
.
El teorema del valor medio da una relación entre los valores de la derivada y los valores de la función original. Si f(x) es una función de valor real y a y b son números con a < b, entonces el teorema del valor medio dice que bajo hipótesis leves, la pendiente entre los dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) es igual a la pendiente de la recta tangente a f en algún punto c entre a y b. En otras palabras,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.
En la práctica, lo que hace el teorema del valor medio es controlar una función en términos de su derivada. Por ejemplo, supongamos que f tiene derivada igual a cero en cada punto. Esto significa que su recta tangente es horizontal en cada punto, por lo que la función también debería ser horizontal. El teorema del valor medio demuestra que esto debe ser cierto: la pendiente entre dos puntos cualesquiera de la gráfica de f debe ser igual a la pendiente de una de las rectas tangentes de f. Todas esas pendientes son cero, por lo que cualquier línea que vaya de un punto de la gráfica a otro punto también tendrá pendiente cero. Pero eso dice que la función no se mueve ni hacia arriba ni hacia abajo, por lo que debe ser una recta horizontal. Condiciones más complicadas sobre la derivada conducen a una información menos precisa pero aún muy útil sobre la función original.
Polinomios de Taylor y series de TaylorEditar
La derivada da la mejor aproximación lineal posible de una función en un punto determinado, pero ésta puede ser muy diferente de la función original. Una forma de mejorar la aproximación es tomar una aproximación cuadrática. Es decir, la linealización de una función de valor real f(x) en el punto x0 es un polinomio lineal a + b(x – x0), y puede ser posible obtener una mejor aproximación considerando un polinomio cuadrático a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Aún mejor podría ser un polinomio cúbico a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, y esta idea puede extenderse a polinomios de grado arbitrariamente alto. Para cada uno de estos polinomios, debe haber una mejor elección posible de los coeficientes a, b, c y d que haga la aproximación lo mejor posible.
En la vecindad de x0, para a la mejor elección posible es siempre f(x0), y para b la mejor elección posible es siempre f'(x0). Para c, d y los coeficientes de mayor grado, estos coeficientes están determinados por las derivadas superiores de f. ¡c siempre debe ser f»(x0)/2, y d siempre debe ser f»'(x0)/3! Utilizando estos coeficientes se obtiene el polinomio de Taylor de f. El polinomio de Taylor de grado d es el polinomio de grado d que mejor se aproxima a f, y sus coeficientes se pueden encontrar mediante una generalización de las fórmulas anteriores. El teorema de Taylor proporciona un límite preciso sobre la calidad de la aproximación. Si f es un polinomio de grado menor o igual que d, entonces el polinomio de Taylor de grado d es igual a f.
El límite de los polinomios de Taylor es una serie infinita llamada serie de Taylor. La serie de Taylor es frecuentemente una muy buena aproximación a la función original. Las funciones que son iguales a su serie de Taylor se llaman funciones analíticas. Es imposible que las funciones con discontinuidades o ángulos agudos sean analíticas; además, existen funciones suaves que tampoco son analíticas.
Teorema de la función implícitaEditar
Algunas formas geométricas naturales, como los círculos, no pueden dibujarse como la gráfica de una función. Por ejemplo, si f(x, y) = x2 + y2 – 1, entonces el círculo es el conjunto de todos los pares (x, y) tales que f(x, y) = 0. Este conjunto se llama el conjunto cero de f, y no es el mismo que la gráfica de f, que es un paraboloide. El teorema de la función implícita convierte relaciones como f(x, y) = 0 en funciones. Afirma que si f es continuamente diferenciable, entonces alrededor de la mayoría de los puntos, el conjunto cero de f se parece a las gráficas de las funciones pegadas. Los puntos en los que esto no es cierto están determinados por una condición sobre la derivada de f. El círculo, por ejemplo, puede pegarse a partir de las gráficas de las dos funciones ± √1 – x2. En una vecindad de cada punto del círculo, excepto (-1, 0) y (1, 0), una de estas dos funciones tiene una gráfica que se parece al círculo. (Resulta que estas dos funciones también se encuentran en (-1, 0) y (1, 0), pero esto no está garantizado por el teorema de la función implícita.)
El teorema de la función implícita está estrechamente relacionado con el teorema de la función inversa, que establece cuándo una función se parece a las gráficas de las funciones invertibles pegadas.