Obituario de Sir Michael Atiyah

Obituario de Sir Michael Atiyah

La última vez que me encontré con Michael Atiyah, que ha fallecido a los 89 años, fue en la Tate Modern de Londres; no es el lugar más probable para encontrarse con el que probablemente sea el mayor matemático británico desde Isaac Newton, pero es totalmente coherente con su amplio entusiasmo por su materia. Era junio de 2012, y me uní a él y al extravagante matemático francés Cédric Villani en una mesa redonda: Las matemáticas, un bello lugar en otro sitio. El título lo dice todo.

Tenemos que agradecer al ácido sulfúrico la decisión de Atiyah de convertirse en matemático. A principios de 1940, mientras Gran Bretaña y Francia luchaban por su patria, el Líbano, sus padres le enviaron al colegio Victoria de El Cairo. En una entrevista de 1984 dijo que mientras estuvo allí se interesó mucho por la química, pero finalmente decidió que hacer «ácido sulfúrico y todo ese tipo de cosas» no era para él: «Listas de hechos, sólo hechos…». A partir de entonces, las matemáticas se convirtieron en su pasión. «Nunca me planteé seriamente hacer otra cosa». El trabajo de Atiyah iba a tener una profunda influencia en las matemáticas actuales.

Atiyah era un geómetra, en el sentido de pensamiento visual aliado con el simbolismo abstracto, una nueva actitud que recorrió las matemáticas a mediados del siglo XX. Pensaba como geometría pero escribía como álgebra, y álgebra muy esotérica por cierto. Su investigación se divide en cuatro periodos principales, que hasta cierto punto se solapan: en los años 50, la geometría algebraica; en los 60 y principios de los 70, la teoría K; de los 60 a los 80, la teoría de índices; y de finales de los 70 a mediados de los 80, la teoría gauge, donde sus ideas llegaron a ser extremadamente influyentes en la física cuántica.

La geometría algebraica se desarrolló originalmente a partir de un profundo vínculo entre la geometría y el álgebra promovido en los años 1600 por René Descartes. Comienza con el plano de Euclides e introduce las coordenadas: pares de números que describen la ubicación de un punto, del mismo modo que la latitud y la longitud determinan un punto en la superficie de la Tierra. Las propiedades geométricas de las curvas pueden describirse mediante ecuaciones algebraicas, de modo que las cuestiones de geometría pueden abordarse mediante el álgebra, y viceversa.

A finales del siglo XIX y principios del XX, apareció un nuevo niño en el bloque matemático: la topología, en la que las formas geométricas pueden deformarse como si estuvieran hechas de elástico. Las características clásicas, como las longitudes y los ángulos, pierden su significado y son sustituidas por conceptos como estar conectadas, anudadas o tener un agujero como un donut.

La topología resultó ser fundamental para muchas áreas de las matemáticas. Se idearon técnicas para asociar a un espacio topológico varios «invariantes», que revelan cuándo los espacios pueden o no deformarse entre sí.

Uno de los invariantes más poderosos, la homología, fue establecido por Emmy Noether, la mayor matemática femenina de finales del siglo XIX y principios del XX. Ella reinterpretó, en términos de álgebra abstracta, métodos rudimentarios para contar características como el número de agujeros en una superficie.

En efecto, Noether explicó que además de contar agujeros y estructuras asociadas, podemos preguntar cómo se combinan, y extraer información topológica de la respuesta.

Atiyah comenzó su carrera investigadora en la geometría algebraica, pero bajo la influencia de su supervisor, William Hodge, en Cambridge, se trasladó rápidamente a un campo adyacente, la geometría diferencial, que estudia conceptos como la curvatura, es decir, cómo se desvía un espacio del plano de Euclides. Allí realizó grandes avances en las interacciones entre la geometría algebraica, la geometría diferencial y la topología.

Las investigaciones de Euclides sobre un círculo incluyen sus tangentes: líneas rectas que lo tocan en un punto, como una carretera que soporta una rueda de bicicleta. Del mismo modo, una esfera tiene una familia de planos tangentes, uno por cada punto de su superficie. Una familia general de este tipo se llama haz de vectores: «haz» porque la esfera une todos los planos, y «vector» porque los análogos de mayor dimensión de las líneas y los planos se llaman espacios vectoriales.

La topología de un haz vectorial proporciona información sobre el espacio subyacente. Las tangentes a un círculo, por ejemplo, forman un cilindro. Como prueba: gire cada línea tangente por un ángulo recto, fuera del plano del círculo, y obtendrá un cilindro. Hay otro haz vectorial asociado a un círculo, en el que las líneas se retuercen para formar la famosa banda de Möbius, una superficie que difiere topológicamente de un cilindro, ya que sólo tiene un lado. Atiyah aplicó estas ideas a las «curvas elípticas», que en realidad son superficies en forma de rosquilla con interesantes propiedades en la teoría de los números.

Su siguiente tema, la teoría K, es una extensión de gran alcance del invariante de homología de Noether. Un cilindro y una banda de Möbius son topológicamente distintos porque sus haces asociados tienen giros diferentes. La teoría K explota los haces vectoriales para capturar los análogos de dimensión superior de dichos giros.

El tema experimentó un período de rápido desarrollo en los años 60, estimulado por los notables vínculos con otras áreas importantes de las matemáticas, y proporcionó a los topólogos un poderoso conjunto de invariantes.

Atiyah, a menudo junto con otros matemáticos destacados, fue una fuerza impulsora de estos desarrollos. Temas importantes fueron la teoría del cobordismo de René Thom (cómo un círculo se divide en dos al bajar un pantalón desde la cintura hasta los agujeros de las perneras, sólo hecho para espacios multidimensionales) y el teorema de la periodicidad, demostrado por primera vez por Raoul Bott, que muestra que los grupos K superiores se repiten en un ciclo de longitud ocho.

La teoría de los índices tiene sus orígenes en la observación de que las características topológicas de un paisaje, como el número de picos, valles y puertos de montaña, están relacionadas entre sí. Para eliminar un pico aplanándolo hay que eliminar también un puerto, por ejemplo. El índice organiza estos fenómenos y puede utilizarse, en circunstancias adecuadas, para demostrar que un pico debe existir en alguna región.

Un paisaje es una metáfora de la gráfica de una función matemática, y una amplia generalización relaciona el número de soluciones de una ecuación diferencial con un índice topológico más esotérico.

Las ecuaciones diferenciales relacionan las tasas de cambio de varias cantidades entre sí, y son omnipresentes en la física matemática; el teorema del índice de Atiyah-Singer, demostrado conjuntamente con el matemático estadounidense Isadore Singer en 1963, revela un vínculo muy significativo entre un índice topológico y las soluciones de una ecuación diferencial.

En un entorno matemático apropiado, esto puede conducir a una prueba de que debe existir una solución, por lo que el índice de Atiyah-Singer tiene amplias aplicaciones en la física. Cuarenta años después de su descubrimiento, la pareja recibió conjuntamente el premio Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, en 2004.

La teoría de galgas surgió en la física, formalizando ciertas simetrías de los campos y partículas cuánticas. El primer ejemplo surgió de las ecuaciones de James Clerk Maxwell para el campo electromagnético (1861), donde se pueden aplicar ciertas transformaciones matemáticas sin cambiar la física.

En 1954 Chen Ning Yang y Robert Mills extendieron esta idea a la interacción fuerte, que mantiene unida cada partícula cuántica en el núcleo atómico. La simetría resultó ser vital para la mecánica cuántica -por ejemplo, el recientemente descubierto bosón de Higgs, que dota de masa a las partículas, actúa rompiendo ciertas simetrías- y las simetrías gauge tienen una enorme importancia.

Atiyah contribuyó con ideas clave a sus matemáticas, utilizando su teoría de índices para estudiar los instantones (partículas que guiñan a la existencia e inmediatamente se apagan) y los monopolos magnéticos (partículas como un polo norte magnético sin su correspondiente polo sur).

En 1983, su estudiante de doctorado Simon Donaldson utilizó estas ideas para demostrar un notable teorema: en contra de lo que esperaban casi todos los topólogos, el espacio cuatridimensional tiene infinitas estructuras diferenciables distintas, totalmente diferentes en este sentido de cualquier otra dimensión. El contexto más amplio de todo este trabajo es la teoría de las supercuerdas, una supuesta unificación de la teoría cuántica y la relatividad de Albert Einstein.

Atiyah nació en Londres, siendo uno de los cuatro hijos de Edward, un funcionario libanés, y su esposa, Jean (de soltera Levens), nacida en Yorkshire y de ascendencia escocesa. La familia se trasladó a Jartum (Sudán), donde Michael fue a la escuela antes de ingresar en el Victoria College de El Cairo y, a los 16 años, en el Manchester Grammar School para prepararse para Cambridge. Siempre le gustaron las matemáticas. Un inspirador profesor le introdujo en la geometría proyectiva y en el álgebra de cuaterniones de William Rowan Hamilton, y leyó sobre teoría de números y teoría de grupos, todo lo cual influyó claramente en sus intereses matemáticos posteriores.

En 1949, tras dos años de servicio nacional, estudió en el Trinity College de Cambridge, donde permaneció para realizar su doctorado. Ocupó cargos en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (incluyendo una cátedra entre 1969 y 1972), y en Cambridge y Oxford, donde fue profesor Savilian de geometría entre 1963 y 1969 y profesor de investigación de la Royal Society entre 1973 y 1990. En 1962 se convirtió en miembro de la Royal Society, de la que fue presidente de 1990 a 1995. En 1966 recibió la medalla Fields, el mayor honor para un matemático.

En 1990 fue nombrado maestro del Trinity College de Cambridge y director del Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas de Cambridge. Fue nombrado caballero en 1983 y miembro de la Orden del Mérito en 1992. Tras retirarse del Trinity en 1997, se trasladó a Edimburgo con su esposa, Lily (de soltera), con la que se había casado en 1955.

Atiyah siempre fue un gran defensor del compromiso público, dando charlas populares sobre la belleza de las matemáticas y su pasión de toda la vida por el tema. Pequeño y compacto, con un discurso silencioso y preciso, era capaz de cautivar al público. Así es como le recuerdo, aquel día en la Tate Modern, diciendo a los no matemáticos por qué lo hacemos, para qué sirve y qué se siente.

Él y Lily tuvieron tres hijos: John, David y Robin. John murió en un accidente de escalada en 2002; Lily murió el año pasado. A Michael le sobreviven David y Robin.

– Michael Francis Atiyah, matemático, nacido el 22 de abril de 1929; fallecido el 11 de enero de 2019

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