Tipos de números
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Los números se clasifican según su tipo. El primer tipo de número es el primero que has aprendido: los números contantes, o «naturales»:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
El siguiente tipo son los números «enteros», que son los números naturales junto con el cero:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(El número cero, difundido desde la India por eruditos norteafricanos, fue considerado originalmente por las autoridades europeas como demoníaco.)
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Luego vienen los «enteros», que son el cero, los números naturales y los negativos de los naturales:
…, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
El siguiente tipo de números son los «racionales», o fraccionarios, que técnicamente se consideran cocientes (divisiones) de los enteros. En otras palabras, una fracción se forma dividiendo un entero entre otro entero.
Nótese que cada nuevo tipo de número contiene el tipo anterior dentro de él. Los enteros son sólo los naturales con el cero añadido. Los enteros son sólo los enteros con los negativos añadidos. Y las fracciones son sólo los enteros con todas sus divisiones. (Recuerda que puedes convertir cualquier entero en una fracción poniéndolo sobre el número 1. Por ejemplo, el entero 4 es también la fracción
).
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Una vez que has aprendido sobre las fracciones, hay otra gran clasificación de números: los que no se pueden escribir como fracciones. Recuerda que las fracciones (también conocidas como números racionales) pueden escribirse como decimales terminados (finales) o repetidos; por ejemplo, 0,5 =
y 0,76 = , son decimales terminados, mientras que 0,333333…. = y 0,538461538461… = son decimales repetidos. Por otro lado, tenemos todos aquellos números que se pueden escribir como decimales no repetitivos y no terminados; estos números son no racionales (es decir, no se pueden escribir como fracciones), por lo que se denominan «irracionales». Algunos ejemplos serían («la raíz cuadrada de dos») o el número («3,14159…», de geometría). Los racionales y los irracionales son dos tipos de números totalmente separados; no se superponen.
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Juntando estas dos grandes clasificaciones, los racionales y los irracionales, en un conjunto se obtienen los números «reales». A menos que haya tratado con números complejos (los números con una «i» en ellos, como 4 – 3i), entonces cada número que ha visto ha sido un número «real». «Pero, ¿por qué», te preguntarás, «se llaman números ‘reales’? ¿Existen los números ‘de mentira’?». Pues sí, en realidad los hay, aunque en realidad se llaman números «imaginarios»; son los que se utilizan para hacer los números complejos, y «imaginario» es lo que representa la «i».
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La pregunta más común que escucho en relación con los tipos de números es algo parecido a «¿Un número real es irracional, o un número irracional es real, o ninguno de los dos… o ambos?» A menos que conozcas los complejos, todo lo que has hecho ha utilizado números reales. A menos que el número tenga una «i», es un real.
Aquí tienes algunas preguntas típicas de tipo numérico (suponiendo que aún no hayas aprendido sobre imaginarios y complejos):
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Verdadero o Falso: Un número entero es también un número racional.
Dado que cualquier número entero puede formarse como fracción poniéndolo sobre 1, entonces esta afirmación es verdadera.
-
Verdadero o Falso: Un número racional es también un número entero.
No necesariamente; el número entero 4 es también el número racional
pero, por ejemplo, el número racional no es también un número entero. Por tanto, esta afirmación es falsa.
-
Verdadero o falso: Un número es un número racional o un número irracional, pero no ambos.
¡Verdadero! En forma decimal, un número es o bien no terminante y no repetitivo (por lo que es un irracional) o bien no lo es (por lo que es un racional); ¡no hay superposición entre estos dos tipos de números!
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Clasifica según el tipo de número; algunos números pueden ser de más de un tipo.
-
0,45
Es un decimal de terminación, por lo que se puede escribir como fracción:
. Como esta fracción no se reduce a un número entero, entonces no es un entero ni un natural. Y todo es un real, así que la respuesta es: racional, real
-
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Probablemente reconozcas que esto es π, aunque puede que sean más decimales de los que acostumbras a usar. La cuestión, sin embargo, es que el decimal no se repite, por lo que π es un irracional. Y todo (lo que conoces hasta ahora) es un real, así que la respuesta es: irracional, real
-
3,14159
¡No te dejes engañar! Sí, a menudo se utiliza algo así como una aproximación de π, ¡pero no es π! Se trata de una aproximación decimal redondeada y, como esta aproximación termina, se trata en realidad de un racional, a diferencia de π mismo, ¡que es irracional! La respuesta es: racional, real
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10
Obviamente, este es un número contable. Eso significa que también es un número entero y un número entero. Dependiendo del texto y del profesor (hay cierta incoherencia), esto también puede contarse como un racional, que técnicamente hablando lo es. Y, por supuesto, también es un real. La respuesta es: natural, entero, entero, racional (posiblemente), real
Es una fracción, por lo que es un racional. También es un real, por lo que la respuesta es: racional, real
También se puede escribir como
, que es lo mismo que el problema anterior. La respuesta es: racional, real
Tu primer impulso puede ser decir que esto es irracional, porque es una raíz cuadrada, pero observa que esta raíz cuadrada se simplifica:
, que es sólo un número entero. La respuesta es: entero, racional, real
Este número es una fracción, pero fíjate que se reduce a -3, por lo que también puede contar como un entero. La respuesta es: entero (posiblemente), racional, real
A excepción de la sección de tu libro en la que tienes que clasificar los números según su tipo, realmente no necesitarás estar muy familiarizado con esta jerarquía. Es más importante saber qué significan los términos cuando los oyes. Por ejemplo, si tu profesor habla de «números enteros», debes saber que el término se refiere a los números para contar, sus negativos y el cero.
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