Differentiaalilaskenta
OptimointiEdit
Jos f on differentioituva funktio ℝ:lla (tai avoimella väylällä) ja x on f:n paikallinen maksimi tai paikallinen minimi, niin f:n derivaatta x:ssä on nolla. Pisteitä, joissa f'(x) = 0, kutsutaan kriittisiksi pisteiksi tai stationaaripisteiksi (ja f:n arvoa kohdassa x kutsutaan kriittiseksi arvoksi). Jos f:n ei oleteta olevan kaikkialla differentioituva, myös pisteitä, joissa se ei ole differentioituva, kutsutaan kriittisiksi pisteiksi.
Jos f on kahdesti differentioituva, niin kääntäen f:n kriittinen piste x voidaan analysoida tarkastelemalla f:n toista derivaattaa kohdassa x :
- jos se on positiivinen, x on paikallinen minimi;
- jos se on negatiivinen, x on paikallinen maksimi;
- jos se on nolla, x voi olla paikallinen minimi, paikallinen maksimi tai ei kumpikaan. (Esimerkiksi f(x) = x3:lla on kriittinen piste kohdassa x = 0, mutta sillä ei ole siellä maksimia eikä minimiä, kun taas f(x) = ± x4:llä on kriittinen piste kohdassa x = 0 ja siellä vastaavasti minimi ja maksimi.)
Tätä kutsutaan toisen derivaatan testiksi. Vaihtoehtoinen lähestymistapa, jota kutsutaan ensimmäisen derivaatan testiksi, käsittää f’:n merkin tarkastelun kriittisen pisteen kummallakin puolella.
Derivaatan ottaminen ja kriittisten pisteiden ratkaiseminen on siis usein yksinkertainen tapa löytää paikallisia minimejä tai maksimeja, mikä voi olla hyödyllistä optimoinnissa. Ääriarvoteoremin mukaan suljetulla välillä olevan jatkuvan funktion on saavutettava minimi- ja maksimiarvonsa vähintään kerran. Jos funktio on differentioituva, minimit ja maksimit voivat esiintyä vain kriittisissä pisteissä tai päätepisteissä.
Tällä on sovelluksia myös kuvaajien piirtämisessä: kun differentioituvan funktion paikalliset minimit ja maksimit on löydetty, kuvaajan karkea piirto saadaan havainnosta, jonka mukaan kuvaaja on joko kasvava tai laskeva kriittisten pisteiden välillä.
Korkeammissa ulottuvuuksissa skalaariarvoisen funktion kriittinen piste on piste, jossa gradientti on nolla. Toisen derivaatan testiä voidaan edelleen käyttää kriittisten pisteiden analysointiin tarkastelemalla funktion toisen osittaisderivaatan Hessin matriisin ominaisarvoja kriittisessä pisteessä. Jos kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, piste on paikallinen minimi; jos kaikki ovat negatiivisia, se on paikallinen maksimi. Jos on joitakin positiivisia ja joitakin negatiivisia ominaisarvoja, kriittistä pistettä kutsutaan ”satulapisteeksi”, ja jos mikään näistä tapauksista ei pidä paikkaansa (eli osa ominaisarvoista on nolla), testiä ei pidetä tuloksellisena.
VariaatiolaskentaMuutos
Yksi esimerkki optimointiongelmasta on: Etsi pinnan kahden pisteen välinen lyhin käyrä olettaen, että käyrän on myös oltava pinnalla. Jos pinta on taso, niin lyhin käyrä on suora. Mutta jos pinta on esimerkiksi kananmunan muotoinen, niin lyhin käyrä ei ole heti selvä. Näitä polkuja kutsutaan geodeeteiksi, ja yksi variaatiolaskennan perustavimmista ongelmista on geodeettisten polkujen löytäminen. Toinen esimerkki on: Etsi pienimmän pinta-alan pinta-alan täyttävä suljettu käyrä avaruudessa. Tätä pintaa kutsutaan minimipinnaksi, ja sekin voidaan löytää variaatiolaskennan avulla.
FysiikkaEdit
Laskennalla on elintärkeä merkitys fysiikassa: monia fysikaalisia prosesseja kuvataan derivaattoja sisältävillä yhtälöillä, joita kutsutaan differentiaaliyhtälöiksi. Fysiikassa tarkastellaan erityisesti sitä, miten suureet muuttuvat ja kehittyvät ajan kuluessa, ja ”aikajohdannaisen” – ajan kuluessa tapahtuvan muutoksen nopeuden – käsite on olennainen useiden tärkeiden käsitteiden tarkan määrittelyn kannalta. Erityisesti kappaleen sijainnin aikajohdannaiset ovat merkittäviä Newtonin fysiikassa:
- nopeus on kappaleen siirtymän (etäisyys alkuperäisestä sijainnista)
- kiihtyvyys on kappaleen nopeuden johdannainen (ajan suhteen), eli kappaleen sijainnin toinen johdannainen (ajan suhteen).
Jos esimerkiksi kappaleen sijainti suoralla saadaan
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
tällöin kappaleen nopeus on
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
ja kappaleen kiihtyvyys on
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x”(t)=-32,\,\!}
joka on vakio.
Differentiaaliyhtälöt Muokkaa
Differentiaaliyhtälö on funktiokokoelman ja niiden derivaattojen välinen suhde. Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, joka liittää yhden muuttujan funktiot niiden derivaattoihin kyseisen muuttujan suhteen. Osittaisdifferentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, joka liittää useamman kuin yhden muuttujan funktiot niiden osittaisderivaattoihin. Differentiaaliyhtälöitä esiintyy luonnostaan fysiikassa, matemaattisessa mallintamisessa ja itse matematiikassa. Esimerkiksi Newtonin toinen laki, joka kuvaa kiihtyvyyden ja voiman välistä suhdetta, voidaan esittää tavallisena differentiaaliyhtälönä
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}
Lämpöyhtälö yhdessä avaruusmuuttujassa, joka kuvaa lämmön leviämistä suoran sauvan läpi, on osittaisdifferentiaaliyhtälö
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
Tässä u(x,t) on sauvan lämpötila sijainnissa x ja ajanhetkellä t ja α on vakio, joka riippuu siitä, kuinka nopeasti lämpö diffundoituu sauvan läpi.(2-3¡)-(3+2)
Keskiarvoteoreema Muokkaa
jossa a < b {\displaystyle a<b}
on c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)}
jossa f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
.
Keskiarvoteoria antaa suhteen derivaatan arvojen ja alkuperäisen funktion arvojen välillä. Jos f(x) on reaaliarvoinen funktio ja a ja b ovat lukuja, joiden a < b, niin keskiarvoteorema sanoo, että lievillä hypoteeseilla kahden pisteen (a, f(a)) ja (b, f(b)) välinen kaltevuus on yhtä suuri kuin f:n tangenttisuoran kaltevuus jossakin pisteessä c pisteen a ja b välissä. Toisin sanoen,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a. {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
Käytännössä keskiarvoteoriassa kontrolloidaan funktiota sen derivaatan avulla. Oletetaan esimerkiksi, että f:n derivaatta on nolla jokaisessa pisteessä. Tämä tarkoittaa, että sen tangenttisuora on vaakasuora jokaisessa pisteessä, joten myös funktion pitäisi olla vaakasuora. Keskiarvoteoria todistaa, että tämän on oltava totta: f:n kuvaajan minkä tahansa kahden pisteen välisen kaltevuuden on oltava yhtä suuri kuin yhden f:n tangenttisuoran kaltevuus. Kaikki nämä kaltevuudet ovat nolla, joten minkä tahansa kuvaajan yhdestä pisteestä toiseen pisteeseen kulkevan suoran kaltevuus on myös nolla. Tämä kuitenkin sanoo, että funktio ei liiku ylös- tai alaspäin, joten sen on oltava vaakasuora viiva. Monimutkaisemmat derivaatan ehdot johtavat epätarkempaan mutta silti erittäin hyödylliseen tietoon alkuperäisestä funktiosta.
Taylorin polynomit ja Taylorin sarjatEdit
Derivaatta antaa parhaan mahdollisen lineaarisen approksimaation funktiolle tietyssä pisteessä, mutta tämä voi olla hyvin erilainen kuin alkuperäinen funktio. Yksi tapa parantaa approksimaatiota on ottaa kvadraattinen approksimaatio. Toisin sanoen reaaliarvoisen funktion f(x) linearisointi pisteessä x0 on lineaarinen polynomi a + b(x – x0), ja voi olla mahdollista saada parempi approksimaatio tarkastelemalla kvadraattista polynomia a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Vielä parempi voisi olla kuutiopolynomi a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, ja tätä ajatusta voidaan laajentaa mielivaltaisesti korkea-asteisiin polynomeihin. Kullekin näistä polynomeista pitäisi olla olemassa paras mahdollinen valinta kertoimille a, b, c ja d, joka tekee approksimaatiosta mahdollisimman hyvän.
X0:n läheisyydessä a:lle paras mahdollinen valinta on aina f(x0), ja b:lle paras mahdollinen valinta on aina f'(x0). C:n, d:n ja korkeamman asteen kertoimien osalta nämä kertoimet määräytyvät f:n korkeampien derivaattojen perusteella. c:n pitäisi aina olla f”(x0)/2, ja d:n pitäisi aina olla f”'(x0)/3!!!. Käyttämällä näitä kertoimia saadaan f:n Taylorin polynomi. Taylorin d-asteen polynomi on d-asteen polynomi, joka approksimoi f:ää parhaiten, ja sen kertoimet voidaan löytää edellä esitettyjen kaavojen yleistyksen avulla. Taylorin teoreema antaa tarkan rajan sille, kuinka hyvä approksimaatio on. Jos f on polynomi, jonka aste on pienempi tai yhtä suuri kuin d, niin Taylorin polynomi, jonka aste on d, vastaa f:ää.
Taylorin polynomien raja-arvo on ääretön sarja, jota kutsutaan Taylorin sarjaksi. Taylor-sarja on usein erittäin hyvä approksimaatio alkuperäiselle funktiolle. Funktioita, jotka ovat yhtä suuria kuin niiden Taylor-sarja, kutsutaan analyyttisiksi funktioiksi. On mahdotonta, että funktiot, joissa on epäjatkuvuuksia tai teräviä kulmia, olisivat analyyttisiä; lisäksi on olemassa sileitä funktioita, jotka eivät myöskään ole analyyttisiä.
Implisiittisten funktioiden lauseMuokkaa
Joitakin luonnollisia geometrisia muotoja, kuten ympyröitä, ei voida piirtää funktion kuvaajaksi. Esimerkiksi jos f(x, y) = x2 + y2 – 1, niin ympyrä on kaikkien sellaisten parien (x, y) joukko, että f(x, y) = 0. Tätä joukkoa kutsutaan f:n nollajoukoksi, eikä se ole sama kuin f:n kuvaaja, joka on paraabeloidi. Implisiittisen funktion lause muuntaa relaatiot, kuten f(x, y) = 0, funktioiksi. Sen mukaan jos f on jatkuvasti differentioituva, niin useimpien pisteiden ympärillä f:n nollajoukko näyttää yhteenliimattujen funktioiden kuvaajilta. Pisteet, joissa tämä ei päde, määräytyvät f:n derivaatan ehdon perusteella. Esimerkiksi ympyrä voidaan liittää yhteen kahden funktion ± √1 – x2 kuvaajista. Jokaisen ympyrän pisteen lähiympäristössä, lukuun ottamatta kohtia (-1, 0) ja (1, 0), jommallakummalla näistä kahdesta funktiosta on ympyrän kaltainen kuvaaja. (Nämä kaksi funktiota sattuvat myös kohtaamaan (-1, 0) ja (1, 0), mutta tätä ei taata implisiittisen funktion lauseella.)
Implisiittisen funktion lause liittyy läheisesti käänteisen funktion lauseeseen, joka kertoo, milloin funktio näyttää yhteenliimattujen käänteismuunnettavien funktioiden kuvaajilta.