Hyperbola

Hyperbola

Tiesitkö, että avaruusaluksen rata voi joskus olla hyperbola?

Avaruusalus voi käyttää planeetan painovoimaa muuttaakseen rataansa ja työntääkseen sen suurella nopeudella poispäin planeetalta ja takaisin avaruuteen käyttäen tekniikkaa, jota kutsutaan nimellä ”painovoiman aiheuttamaksi ritsaheittimeksi”.

Tällöin avaruusaluksen rata on hyperbola.

(Leiki tätä Gravity Freeplayssa)

Määritelmä

Hyperbola on kaksi käyrää, jotka ovat kuin äärettömät jouset.

Katsottaessa vain toista käyristä:

jokainen piste P on lähempänä F:tä kuin G:tä jonkin vakiosumman verran

Toinen käyrä on peilikuvana lähempänä G:tä kuin F:tä.

Muilla sanoilla etäisyys P:stä F:ään on aina jollakin vakiosumman verran lähempänä P:n etäisyyttä G:hen. (Ja toisella käyrällä P:stä G:hen on aina pienempi kuin P:stä F:ään kyseisellä vakiosummalla.)

Kaikkia keuloja sanotaan haaroiksi, ja kumpaakin F:ää ja G:tä sanotaan fokuksiksi.

Kokeile itse:

Kokeile siirtää pistettä P: mitä huomaat pituuksista PF ja PG?

Kokeile myös pistettä P toiseen haaraan.

Tässä on muitakin mielenkiintoisia asioita:

Diagrammissa näet:

• symmetria-akseli (joka kulkee jokaisen polttopisteen läpi)
• kaksi kärkeä (joissa kumpikin käyrä tekee terävimmän käännöksensä)
• kärkipisteiden välinen etäisyys (kaaviossa 2a) on vakio. pituuksien PF ja PG erotus
• kaksi asymptoottia, jotka eivät ole osa hyperbolia, mutta osoittavat, mihin käyrä menisi, jos sitä jatkettaisiin loputtomiin kumpaankin neljään suuntaan

Ja, Tarkkaan ottaen on myös toinen symmetria-akseli, joka kulkee keskellä ja erottaa hyperbelin kaksi haaraa toisistaan.

Koninen poikkileikkaus Hyperbelin saa myös, kun leikkaa kaksoiskartion läpi. Viipaleen on oltava jyrkempi kuin paraabelin, mutta sen ei tarvitse olla kartion akselin suuntainen, jotta hyperbola olisi symmetrinen. Hyperbola on siis kartioleikkaus (kartion leikkaus).

Yhtälö

Sijoittamalla hyperbola x-y-kuvaajaan (jonka keskipiste on x-akselilla ja y-akselilla), käyrän yhtälö on:

x2a2 – y2b2 = 1

Myös:

Yksi huippu on pisteessä (a, 0) ja toinen pisteessä (-a, 0)

Asymptootit ovat suoria:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Huom: yhtälö on samanlainen kuin ellipsin yhtälö:

Eksentrisyys

Hyperbelin haara voidaan määritellä myös käyräksi, jossa minkä tahansa pisteen etäisyydet:

• kiinteästä pisteestä (polttopiste) ja
• kiinteästä suorasta linjasta (directrix)ovat aina samassa suhteessa.

Tätä suhdetta kutsutaan eksentrisyydeksi, ja hyperboolin kohdalla se on aina suurempi kuin 1.

Eksentrisyys (yleensä esitetty e-kirjaimella) osoittaa, kuinka ”epäkyräinen” (ympyrästä poikkeava) hyperboli on.

Tässä kaaviossa:

• P on piste käyrällä,
• F on polttopiste ja
• N on suorakulmion piste niin, että PN on kohtisuorassa suorakulmaa vastaan.

Eksentrisyys on suhde PF/PN ja sillä on kaava:

e = √(a2+b2)a

Käytetään ”a” ja ”b” yllä olevasta kaaviosta.

Latus Rectum

Latus Rectum on polttopisteen läpi kulkeva suora, joka on samansuuntainen directrixin kanssa. Latus rectumin pituus on 2b2/a.

1/x

Vastakkaisfunktio y = 1/x on hyperbola!