Accélération angulaire
Particule en deux dimensionsModifier
En deux dimensions, l’accélération angulaire orbitale est la vitesse à laquelle change la vitesse angulaire orbitale bidimensionnelle de la particule autour de l’origine. La vitesse angulaire instantanée ω à tout moment est donnée par
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}.
,
où r {\displaystyle r}
est la distance à l’origine et v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
est la composante radiale croisée de la vitesse instantanée (c’est-à-dire la composante perpendiculaire au vecteur position), qui par convention est positive pour un mouvement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et négative pour un mouvement dans le sens des aiguilles d’une montre.
Donc, l’accélération angulaire instantanée α de la particule est donnée par
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r})}.
.
Extension du côté droit en utilisant la règle du produit du calcul différentiel, ceci devient
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp}}{dt}}-{\frac {v_{\perp}}{r^{2}}{\frac {dr}{dt}}}
.
Dans le cas particulier où la particule subit un mouvement circulaire autour de l’origine, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}.
devient juste l’accélération tangentielle a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }}.
, et d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
s’évanouit (puisque la distance à l’origine reste constante), donc l’équation ci-dessus se simplifie en α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}
.
En deux dimensions, l’accélération angulaire est un nombre avec un signe plus ou moins indiquant l’orientation, mais ne pointant pas dans une direction. Le signe est conventionnellement pris positif si la vitesse angulaire augmente dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ou diminue dans le sens des aiguilles d’une montre, et le signe est pris négatif si la vitesse angulaire augmente dans le sens des aiguilles d’une montre ou diminue dans le sens inverse. L’accélération angulaire peut alors être qualifiée de pseudo-scalaire, une quantité numérique qui change de signe sous une inversion de parité, telle que l’inversion d’un axe ou la commutation des deux axes.
Particule en trois dimensionsModifié
En trois dimensions, l’accélération angulaire orbitale est la vitesse à laquelle le vecteur vitesse angulaire orbital tridimensionnel change avec le temps. Le vecteur vitesse angulaire instantanée ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}.
à tout moment est donné par ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
où r {\displaystyle \mathbf {r} }
est le vecteur de position de la particule et v {\displaystyle \mathbf {v} }
est son vecteur vitesse.
Donc, l’accélération angulaire orbitale est le vecteur α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}.
défini par α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}})}
.
Extension de cette dérivée en utilisant la règle du produit pour les produits croisés et la règle du quotient ordinaire, on obtient :
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}{\frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}-{\frac {2}{r^{3}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}
Since r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
est juste r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}.
, le second terme peut être réécrit comme – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}
. Dans le cas où la distance r {\displaystyle r}
de la particule par rapport à l’origine ne change pas avec le temps (ce qui inclut le mouvement circulaire comme sous-cas), le deuxième terme disparaît et la formule ci-dessus se simplifie en α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
À partir de l’équation ci-dessus, on peut récupérer l’accélération radiale croisée dans ce cas particulier comme:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r}. }
.
A la différence de ce qui se passe en deux dimensions, l’accélération angulaire en trois dimensions n’est pas nécessairement associée à une variation de la vitesse angulaire : si le vecteur de position de la particule se « tord » dans l’espace de telle sorte que son plan instantané de déplacement angulaire (c’est-à-dire… Si le vecteur de position de la particule « tourne » dans l’espace de telle sorte que son plan instantané de déplacement angulaire (c’est-à-dire le plan instantané dans lequel le vecteur de position balaie l’angle) change continuellement avec le temps, alors même si la vitesse angulaire (c’est-à-dire la vitesse à laquelle le vecteur de position balaie l’angle) est constante, il y aura toujours une accélération angulaire non nulle parce que la direction du vecteur de vitesse angulaire change continuellement avec le temps. Cela ne peut pas ne pas se produire en deux dimensions parce que le vecteur position est restreint à un plan fixe, de sorte que tout changement de vitesse angulaire doit se faire par un changement de sa magnitude.
Le vecteur accélération angulaire est plus proprement appelé pseudo vecteur : Il a trois composantes qui se transforment sous les rotations de la même manière que les coordonnées cartésiennes d’un point, mais qui sous les réflexions ne se transforment pas comme les coordonnées cartésiennes.
Relation avec le coupleEdit
Le couple net sur une particule ponctuelle est défini comme étant le pseudovecteur
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r}. \times \mathbf {F} }
,
où F {\displaystyle \mathbf {F} }
est la force nette sur la particule.
Le couple est l’analogue rotationnel de la force : il induit un changement dans l’état rotationnel d’un système, tout comme la force induit un changement dans l’état translationnel d’un système. Puisque la force nette sur une particule peut être reliée à l’accélération de la particule par l’équation F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, on peut espérer construire une relation similaire reliant le couple net sur une particule à l’accélération angulaire de la particule. Cela peut être fait comme suit :
Premièrement, en substituant F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
dans l’équation du couple ci-dessus, on obtient τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}})}
.
Mais de la section précédente, on a déduit que
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r}} \times \mathbf {a} }{r^{2}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}
,
où α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}.
est l’accélération angulaire orbitale de la particule et ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}.
est la vitesse angulaire orbitale de la particule. Il s’ensuit donc que τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
Dans le cas particulier où la distance r {\displaystyle r}
de la particule par rapport à l’origine ne change pas avec le temps, le deuxième terme de l’équation ci-dessus disparaît et l’équation ci-dessus se simplifie en τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}.
,
qui peut être interprété comme un « analogue rotationnel » de F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, où la quantité m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(connue sous le nom de moment d’inertie de la particule) joue le rôle de la masse m {\displaystyle m}.
. Cependant, contrairement à F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, cette équation n’est pas applicable à une trajectoire arbitraire. En conclusion, la relation générale entre le couple et l’accélération angulaire est nécessairement plus compliquée que celle de la force et de l’accélération linéaire.