Reddit – maths – Jusqu’où peuvent aller les maths ? Et quelles sont les filières supérieures au calcul ?
Après le calcul multi-variable et l’algèbre linéaire, vous pouvez prendre une séquence appelée Introduction à l’analyse, qui concerne les fondements rigoureux du calcul, et qui introduit le langage des formes différentielles afin que les théorèmes du calcul vectoriel puissent être généralisés à plus de trois dimensions.
Après cela, vous pouvez prendre un cours appelé Real Analysis, qui commence par la Measure Theory et qui s’intéresse à la façon dont on généraliserait l’intégration pour des fonctions inhabituelles, et apparemment pathologiques, d’une variable réelle, et General Topology avant ou en même temps que cela est conseillé ; cela peut aussi inclure du matériel sur les espaces de fonctions, qui sont le sujet du cours suivant.
Après cela, vous pouvez prendre l’analyse fonctionnelle, qui, à la base, concerne les problèmes qui se posent lorsqu’on fait de l’algèbre linéaire sur des espaces vectoriels de dimension infinie ; la connaissance de l’analyse complexe est également conseillée, à cause de quelque chose appelé théorie spectrale qui vous dit quand vous pouvez prendre une expression qui fonctionne bien en tant que fonction différentiable complexe et substituer la variable avec un opérateur linéaire. (Cela devrait impliquer un flashback au théorème de Cayley-Hamilton de l’algèbre linéaire, où vous avez appris que si vous développez le polynôme caractéristique d’une matrice carrée, puis substituez la variable avec la matrice, vous obtenez la matrice zéro.)
Après cela, vous suivriez probablement des cours thématiques dans des choses comme la théorie des opérateurs et la théorie des C*-algèbres, qui nécessitent en plus une compréhension de niveau supérieur de l’algèbre abstraite ; au moment où vous arrivez à ce niveau, vous serez entré dans une école supérieure et aurez pris un tel cours, qui est une exigence commune de première année.
Ce n’était qu’une tentative de trouver le « chemin mathématique à venir » à partir de Calculus ; il y en a d’autres :
Le développement de l’intégration multivariable dans l’introduction à l’analyse a beaucoup de substance géométrique profonde, de la même manière que Calculus III a beaucoup de contenu géométrique apparemment aléatoire ; le chemin précédent concernait finalement la généralisation de la dérivée aux fonctions sur les espaces vectoriels à dimensions infinies, mais celui-ci concerne la généralisation aux collecteurs, qui ressemblent localement à l’espace euclidien à dimensions finies.
Après Calculus III, vous pouvez avoir un aperçu de cela avec un cours de premier cycle sur la géométrie différentielle des courbes et des surfaces, mais les choses sérieuses qui fonctionnent pour les collecteurs de dimension supérieure sont au niveau des études supérieures, en commençant par la géométrie riemannienne et en continuant avec la géométrie semi-riemannienne (en fait, presque tous les cours de niveau supérieur avec « géométrie » dans son nom, sauf la sinistre « géométrie algébrique », sont dans cette veine). À ce moment-là, vous pourriez vouloir prendre la topologie générale et la topologie différentielle, mais la première sera une exigence générale de toute façon.
Si vous connaissez votre géométrie semi-riemannienne, vous pourriez vouloir apprendre plus spécifiquement les manifestes lorentziens de la relativité générale ; quant aux manifestes de Calabi-Yau de la théorie des supercordes, ils sont mieux compris par la géométrie algébrique, et comme vous l’apprendrez au fur et à mesure que vous avancerez dans les mathématiques, la connaissance mathématique elle-même n’est pas aussi cloisonnée que les sélections de cours voudraient vous le faire croire.
Si les aspects de résolution de problèmes de Calculus II sont plus ce qui vous intéresse, il n’y a pas vraiment beaucoup pour cela, bien que l’Introduction aux équations différentielles et les équations différentielles partielles de niveau premier cycle comprennent de nombreux sacs de trucs, ainsi que deux cours qui ne suit pas tout à fait de Calculus ou l’autre, connu comme Discrete Mathematics et Introductory Number Theory (le premier est, entre autres choses, une introduction à deux domaines étonnants et hautement computationnels des mathématiques appelées Graph Theory et Combinatorics ; il comprend également une belle introduction à la logique et à la théorie des ensembles et sert souvent de cours d’introduction à l’écriture de preuves dans les universités).
Il y a des cours d’équations différentielles au-delà de ce niveau, mais la plupart d’entre eux portent sur la façon de prouver que les équations ont réellement des solutions et comment elles se comporteraient, mais pas tellement sur les solutions en forme fermée ou en série d’équations spécifiques (et l’étude de haut niveau des EDP nécessite fondamentalement l’analyse fonctionnelle et tout l’apprentissage difficile qui vient jusqu’à ce point) ; il y a une certaine synergie avec l’Analyse Numérique, l’étude des méthodes d’approximation numérique, qui est plus importante que vous ne le pensez au début (vous pourriez balayer la règle du point milieu, la méthode de Newton, et la méthode d’Euler en avant au début, mais ils fonctionnent là où les solutions en forme fermée ne peuvent pas être trouvées, et les méthodes numériques deviennent encore plus sophistiquées).
Les probabilités et les statistiques étant basées sur des concepts tels que les moyennes et les aires, il est possible de les baser sur leurs formulations plus sophistiquées avec le calcul et la théorie de la mesure ; fondamentalement, n’importe quelle rampe de sortie dans cette première séquence jusqu’au début des études supérieures peut être utilisée pour commencer une étude de plus en plus sérieuse des statistiques.
Les besoins de l’Analyse ont été le principal facteur de motivation de la théorie des ensembles, et bien que vous en appreniez suffisamment pour vous en sortir (et continuer à le recapitaliser) dans vos autres cours de mathématiques basés sur la preuve, c’est toujours un domaine de recherche fructueux.
Techniquement, vous n’avez même pas besoin de Calcul ou d’Algèbre linéaire pour apprendre l’Algèbre abstraite, mais cela aide à avoir la « maturité mathématique » d’un cours d’Algèbre linéaire au préalable.
L’algèbre abstraite est derrière la géométrie algébrique (fondamentalement, l’étude des ensembles de solutions des équations polynomiales en plus d’une variable), la topologie algébrique (l’étude des invariants algébriques pour classer les espaces topologiques), et un nombre surprenant de choses qui peuvent être assistées par le calcul (il y a même un logiciel juste pour l’algèbre commutative, appelé CoCoA).
Il est également à l’origine de la théorie algébrique des nombres, qui tire parti d’un nombre surprenant de domaines des mathématiques, tout comme l’autre branche majeure de la théorie des nombres, la théorie analytique des nombres (l’analyse complexe est un prérequis certain ici) ; vous ne devineriez pas d’emblée que presque tout le reste des mathématiques doit être mis à contribution pour étudier les nombres naturels.
Oh, tout comme l’Analyse était la principale motivation derrière la Théorie des Ensembles, l’Algèbre était la principale motivation derrière la Théorie des Catégories ; ils ne sont pas totalement séparés cependant, parce que les groupes et les anneaux sont décrits comme des « ensembles avec… », et il y a définitivement des aperçus de théorie des catégories dans les structures de l’Analyse.
Ce n’était même pas un compte rendu particulièrement approfondi, mais il suffit de dire que les domaines des mathématiques ne sont pas totalement ordonnés en termes de niveau de difficulté ou de la façon dont un étudiant doit les apprendre ; ils ne sont même pas organisés en arbre, mais plutôt en digraphe. (Aussi, les termes « totalement ordonné », « arbre », et « digraphe » seraient couverts dans Mathématiques discrètes.)
Souvent, l’ordre dans lequel un étudiant apprendrait le plus facilement les mathématiques est différent de l’ordre logique dans lequel les connaissances sont construites ; en particulier, des cours dédiés sur les fondements des mathématiques sont au niveau du troisième cycle, mais avant cela, vous pouvez travailler comme si les fondements sont solides.
Toutefois, si une technique de résolution de problèmes est nécessaire pour un certain cours, le cours doit être pris après le cours dans lequel la technique est enseignée, ce qui explique pourquoi un premier cours sur les variables complexes nécessite au moins Calculus III, où les intégrales linéaires sont d’abord couvertes.