Sir Michael Atiyah nécrologique
La dernière fois que j’ai rencontré Michael Atiyah, qui est décédé à l’âge de 89 ans, c’était à la Tate Modern à Londres ; ce n’est pas l’endroit le plus probable pour rencontrer probablement le plus grand mathématicien britannique depuis Isaac Newton, mais tout à fait cohérent avec son large enthousiasme pour son sujet. C’était en juin 2012, et je l’ai rejoint, ainsi que le flamboyant mathématicien français Cédric Villani, dans une table ronde : Les mathématiques, un bel ailleurs. Le titre dit tout.
Nous devons à l’acide sulfurique la décision d’Atiyah de devenir mathématicien. Au début de 1940, alors que la Grande-Bretagne et la France se battaient pour son pays natal, le Liban, ses parents l’ont envoyé au collège Victoria au Caire. Lors d’une interview réalisée en 1984, il a déclaré qu’il s’était beaucoup intéressé à la chimie, mais qu’il avait finalement décidé que la fabrication « d’acide sulfurique et toutes ces sortes de choses » n’était pas pour lui : « Des listes de faits, rien que des faits… » À partir de ce moment-là, les mathématiques sont devenues sa passion. « Je n’ai jamais sérieusement envisagé de faire autre chose ». Les travaux d’Atiyah allaient avoir une profonde influence sur les mathématiques d’aujourd’hui.
Atiyah était un géomètre, au sens d’une pensée visuelle alliée à un symbolisme abstrait, une nouvelle attitude qui a balayé les mathématiques au milieu du 20e siècle. On y pensait comme à la géométrie mais on écrivait dessus comme à l’algèbre, et à l’algèbre très ésotérique en plus. Ses recherches se divisent en quatre périodes principales, qui se chevauchent dans une certaine mesure – dans les années 1950, la géométrie algébrique ; dans les années 60 et au début des années 70, la K-théorie ; des années 60 aux années 80, la théorie de l’indice ; et de la fin des années 70 au milieu des années 80, la théorie de la jauge, où ses idées sont devenues extrêmement influentes en physique quantique.
La géométrie algébrique s’est développée à l’origine à partir d’un lien profond entre la géométrie et l’algèbre promu dans les années 1600 par René Descartes. Commencez par le plan d’Euclide et introduisez les coordonnées – des paires de chiffres décrivant l’emplacement d’un point, un peu comme la latitude et la longitude déterminent un point sur la surface de la Terre. Les propriétés géométriques des courbes peuvent ensuite être décrites par des équations algébriques, de sorte que les questions de géométrie peuvent être abordées à l’aide de l’algèbre, et vice versa.
À la fin des années 1800 et au début des années 1900, un nouvel enfant est apparu sur le bloc mathématique : la topologie, dans laquelle les formes géométriques peuvent être déformées comme si elles étaient faites d’élastique. Les caractéristiques classiques telles que les longueurs et les angles perdent leur sens, et sont remplacées par des concepts tels que le fait d’être connecté, noué, ou d’avoir un trou comme un beignet.
La topologie s’est avérée fondamentale pour de nombreux domaines des mathématiques. Des techniques ont été conçues pour associer à un espace topologique divers « invariants », qui révèlent quand les espaces peuvent ou non se déformer les uns dans les autres.
L’un des invariants les plus puissants, l’homologie, a été établi par Emmy Noether, la plus grande mathématicienne de la fin des années 1800 et du début des années 1900. Elle a réinterprété, en termes d’algèbre abstraite, des méthodes rudimentaires pour compter des caractéristiques telles que le nombre de trous dans une surface.
En effet, Noether a expliqué qu’en plus de compter les trous et les structures associées, nous pouvons demander comment ils se combinent, et extraire des informations topologiques de la réponse.
Atiyah a commencé sa carrière de chercheur en géométrie algébrique, mais sous l’influence de son superviseur, William Hodge, à Cambridge, il s’est rapidement dirigé vers un domaine adjacent, la géométrie différentielle, qui étudie des concepts tels que la courbure – comment un espace s’écarte du plan plat d’Euclide. Là, il a fait de grandes avancées dans les interactions entre la géométrie algébrique, la géométrie différentielle et la topologie.
Les investigations d’Euclide sur un cercle incluent ses tangentes : des lignes droites qui le touchent en un point, comme une route supportant une roue de vélo. De même, une sphère possède une famille de plans tangents, un pour chaque point de sa surface. Une famille générale de ce type s’appelle un faisceau de vecteurs : « faisceau » parce que la sphère lie tous les plans entre eux, et « vecteur » parce que les analogues de plus haute dimension des lignes et des plans sont appelés espaces vectoriels.
La topologie d’un faisceau vectoriel fournit des informations sur l’espace sous-jacent. Les tangentes à un cercle, par exemple, forment un cylindre. Pour preuve : faites pivoter chaque ligne tangente d’un angle droit, hors du plan du cercle, et vous obtenez un cylindre. Il existe un autre faisceau de vecteurs associé à un cercle, dans lequel les lignes sont tordues pour former la fameuse bande de Möbius, une surface qui diffère topologiquement d’un cylindre puisqu’elle n’a qu’un seul côté. Atiyah a appliqué ces idées aux « courbes elliptiques », en fait des surfaces en forme de beignets avec des propriétés intéressantes en théorie des nombres.
Son sujet suivant, la K-théorie, est une extension de grande envergure de l’invariant d’homologie de Noether. Un cylindre et une bande de Möbius sont topologiquement distincts parce que leurs faisceaux associés ont des torsions différentes. La K-théorie exploite les faisceaux vectoriels pour capturer des analogues de dimension supérieure de ces torsions.
Le sujet a connu une période de développement rapide dans les années 60, stimulé par des liens remarquables avec d’autres domaines majeurs des mathématiques, et il a fourni aux topologues une puissante boîte à outils d’invariants.
Atiyah, souvent conjointement avec d’autres mathématiciens de premier plan, a été une force motrice derrière ces développements. Les thèmes importants étaient la théorie du cobordisme de René Thom (comment un cercle se divise en deux lorsque vous descendez un pantalon de la taille aux trous de jambe, seulement fait pour les espaces multidimensionnels) et le théorème de périodicité, prouvé pour la première fois par Raoul Bott, montrant que les groupes K supérieurs se répètent dans un cycle de longueur huit.
La théorie de l’index a ses origines dans l’observation que les caractéristiques topologiques d’un paysage, telles que le nombre de pics de montagne, de vallées et de cols, sont liées les unes aux autres. Pour se débarrasser d’un pic en l’aplanissant, il faut aussi se débarrasser d’un col, par exemple. L’indice organise de tels phénomènes, et peut être utilisé, dans des circonstances appropriées, pour prouver qu’un pic doit exister dans une certaine région.
Un paysage est une métaphore pour le graphique d’une fonction mathématique, et une généralisation large relie le nombre de solutions d’une équation différentielle à un indice topologique plus ésotérique.
Dans un cadre mathématique approprié, cela peut conduire à une preuve qu’une solution doit exister, de sorte que l’indice d’Atiyah-Singer a de nombreuses applications en physique. Quarante ans après leur découverte, le couple a reçu conjointement le prix Abel de l’Académie norvégienne des sciences et des lettres, en 2004.
La théorie de jauge est apparue en physique, formalisant certaines symétries des champs et des particules quantiques. Le premier exemple est issu des équations de James Clerk Maxwell pour le champ électromagnétique (1861), où certaines transformations mathématiques peuvent être appliquées sans changer la physique.
En 1954, Chen Ning Yang et Robert Mills ont étendu cette idée à l’interaction forte, qui maintient ensemble chaque particule quantique dans le noyau atomique. La symétrie s’est avérée vitale pour la mécanique quantique – par exemple, le boson de Higgs récemment découvert, qui dote les particules d’une masse, agit en brisant certaines symétries – et les symétries de jauge ont une énorme importance.
Atiyah a apporté des idées clés à leurs mathématiques, en utilisant sa théorie de l’indice pour étudier les instantons (particules qui entrent dans l’existence et en sortent immédiatement) et les monopoles magnétiques (particules comme un pôle magnétique nord sans pôle sud correspondant).
En 1983, son étudiant en doctorat Simon Donaldson a utilisé ces idées pour prouver un théorème remarquable : contrairement à ce que presque tous les topologues attendaient, l’espace à quatre dimensions possède une infinité de structures différentiables distinctes – tout à fait différentes à cet égard de toute autre dimension. Le contexte plus large de tous ces travaux est la théorie des supercordes, une unification conjecturée de la théorie quantique et de la relativité d’Albert Einstein.
Atiyah est né à Londres, l’un des quatre enfants d’Edward, un fonctionnaire libanais, et de sa femme, Jean (née Levens), née dans le Yorkshire et d’origine écossaise. La famille s’installe à Khartoum, au Soudan, où Michael va à l’école avant d’être pensionnaire au Victoria College du Caire, puis de rejoindre la Manchester Grammar School à 16 ans pour préparer Cambridge. Il a toujours été passionné par les mathématiques. Un professeur inspirant l’a initié à la géométrie projective et à l’algèbre des quaternions de William Rowan Hamilton, et il a lu sur la théorie des nombres et la théorie des groupes – tout cela a clairement influencé ses intérêts mathématiques ultérieurs.
En 1949, après deux ans de service national, il a étudié au Trinity College de Cambridge, y restant pour son doctorat. Il a occupé des postes à l’Institute for Advanced Study de Princeton (y compris une chaire 1969-72), ainsi qu’à Cambridge et à Oxford, où il a été professeur de géométrie Savilian 1963-69 et professeur de recherche de la Royal Society 1973-90. Il est devenu membre de la Royal Society en 1962 et en a été le président de 1990 à 1995. En 1966, il a remporté une médaille Fields, la plus haute distinction pour un mathématicien.
En 1990, il est devenu maître du Trinity College, à Cambridge, et directeur de l’Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, à Cambridge. Il a été fait chevalier en 1983 et membre de l’Ordre du mérite en 1992. Après avoir pris sa retraite du Trinity en 1997, il s’est installé avec sa femme, Lily (née Brown), qu’il avait épousée en 1955, à Édimbourg.
Atiyah a toujours été un fervent défenseur de l’engagement public, donnant des conférences populaires sur la beauté des mathématiques et sa passion de toujours pour le sujet. Petit et compact, avec une livraison calme et précise, il pouvait néanmoins tenir un public sous le charme. C’est ainsi que je me souviens de lui, ce jour-là à Tate Modern, expliquant aux non-mathématiciens pourquoi nous le faisons, à quoi cela sert et ce que cela fait.
Lily et lui ont eu trois fils : John, David et Robin. John est mort dans un accident d’escalade en 2002 ; Lily est décédée l’année dernière. Michael laisse derrière lui David et Robin.
– Michael Francis Atiyah, mathématicien, né le 22 avril 1929 ; mort le 11 janvier 2019
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