Théorème du facteur
Pages connexes
Théorème du redoublement
Résolution d’équations cubiques
Théorèmes du redoublement et du facteur
Plus de leçons d’algèbre Théorèmes
Plus de leçons d’algèbre
Théorème du redoublement et théorème des facteurs
Qu’est-ce que le théorème des facteurs ?
Lorsque f(x) est divisé par (x – a), on obtient
f(x) = (x – a)Q(x) + reste
D’après le théorème du reste on obtient
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)
Si f(a) = 0 alors le reste est 0 et
f(x) = (x – a)Q(x)
On peut alors dire que (x – a) est un facteur de f(x)
Le théorème des facteurs énonce que
(x – a) est un facteur du polynôme f(x) si et seulement si f(a) = 0
Prenez note que les énoncés suivants sont équivalents pour tout polynôme f(x).
- (x – a) est un facteur de f(x).
- Le reste est nul lorsque f(x) est divisé par (x – a).
- f(a) = 0.
- La solution de f(x) = 0 est a.
- Le zéro de la fonction f(x) est a.
Exemple:
Déterminez si x + 1 est un facteur des polynômes suivants.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4
Solution :
a) Soit f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Donc, x + 1 est un facteur de f(x)
b) Soit g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Donc, x + 1 n’est pas un facteur de g(x)
Comment utiliser le théorème des facteurs et le théorème du reste ?
Que sont ces théorèmes et comment les utiliser pour trouver la factorisation linéaire d’un polynôme ?
Le théorème du reste affirme que si un polynôme, f(x), est divisé par x – k, le reste est égal à f(k).
Le théorème des facteurs énonce que le polynôme x – k est un facteur du polynôme f(x) si et seulement si f(k) = 0.
Exemple :
Laissez f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Est-ce que x – 1 est un facteur ?
Trouvez tous les autres facteurs.
- Afficher la leçon vidéo
Comment utiliser le théorème des facteurs pour factoriser des polynômes ?
Exemples :
-
Facteur P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8
-
Facteur P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12
- Afficher la leçon vidéo
Comment trouver les facteurs restants d’un polynôme ?
Leçon sur le théorème des facteurs et la factorisation complète d’un polynôme.
- Apprendre le lien entre le théorème des facteurs et le théorème du reste.
- Apprendre comment utiliser le théorème des facteurs pour déterminer si un binôme est un facteur d’un polynôme donné ou non.
- Utiliser la division synthétique, ainsi que le théorème des facteurs pour aider à factoriser un polynôme.
Exemple:
Facturer complètement x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18
- Afficher la leçon vidéo
Application du théorème des facteurs
Comment utiliser le théorème des facteurs pour déterminer si x – c est un facteur du polynôme f ?
Exemples :
- f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
- f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
- f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
- f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
- f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2
- Afficher la leçon vidéo
Comment expliquer le théorème des facteurs ?
Si f(x) est un polynôme et f(p) = 0 alors (x – p) est un facteur de f(x)
Si f(x) est un polynôme et f(-q) = 0 alors (x + q) est un facteur de f(x)
- Afficher la leçon vidéo
Description et exemples du théorème des facteurs
Exemples :
Preuve que (x + 1) est un facteur de P(x) = x2 + 2x + 1
Est-ce que (x + 2) est un facteur de x3 + 4×2 – x – 3 ?
- Afficher la leçon vidéo
Essayez la calculatrice et le résolveur de problèmes gratuits Mathway ci-dessous pour vous exercer à divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés, ou tapez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape. 