Szöggyorsulás
Részecske két dimenzióbanSzerkesztés
Két dimenzióban a keringési szöggyorsulás az a sebesség, amellyel a részecske kétdimenziós keringési szögsebessége az origó körül változik. Az ω pillanatnyi szögsebesség bármely időpontban a
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}}} adott.
,
ahol r {\displaystyle r}
az origótól mért távolság és v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}}
a pillanatnyi sebesség keresztirányú komponense (azaz a helyzetvektorra merőleges komponense), amely a konvenció szerint pozitív az óramutató járásával ellentétes irányú mozgás esetén, és negatív az óramutató járásával megegyező irányú mozgás esetén.
Ezért a részecske pillanatnyi α szöggyorsulása a következő
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}}({\frac {v_{\perp }}}{r}})} }
.
A jobboldal kitágítása a differenciálszámításból ismert szorzatszabállyal, ez lesz
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}}{\frac {dr}{dt}}}}}
.
Abban a speciális esetben, amikor a részecske körkörös mozgást végez az origó körül, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}}{dt}}}}
csak az a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }}} érintőleges gyorsulás lesz.
, és d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
eltűnik (mivel az origótól való távolság állandó marad), így a fenti egyenlet egyszerűsödik α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}}}
.
Két dimenzióban a szöggyorsulás egy plusz vagy mínusz előjelű szám, amely az irányultságot jelzi, de nem mutat irányt. Az előjelet egyezményesen pozitívnak veszik, ha a szögsebesség az óramutató járásával ellentétes irányban nő vagy az óramutató járásával ellentétes irányban csökken, az előjelet pedig negatívnak veszik, ha a szögsebesség az óramutató járásával ellentétes irányban nő vagy az óramutató járásával ellentétes irányban csökken. A szöggyorsulást ekkor pszeudoszkalárnak nevezhetjük, olyan numerikus mennyiségnek, amelynek előjele paritás inverzió, például az egyik tengely megfordítása vagy a két tengely felcserélése esetén megváltozik.
Részecske három dimenzióbanSzerkesztés
Három dimenzióban a keringési szöggyorsulás a háromdimenziós keringési szögsebességvektor időbeli változásának mértéke. A pillanatnyi szögsebesség-vektor ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}
bármely időpontban az ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
hol r {\displaystyle \mathbf {r} }
a részecske pozícióvektora és v {\displaystyle \mathbf {v} }
a sebességvektora.
Ezért a keringési szöggyorsulás az α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} vektor.
az α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}} definíciója.
.
Ezt a deriváltat a kereszttagokra vonatkozó termékszabály és a közönséges hányadosszabály segítségével kiterjesztve megkapjuk:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}}{\frac {dr}{dt}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}}}
Mivel r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
csak r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}
, a második tag átírható – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}}
. Abban az esetben, ha a távolság r {\displaystyle r}
a részecskének az origótól való távolsága nem változik az idővel (ami a körkörös mozgást mint alesetet foglalja magában), a második tag eltűnik, és a fenti képlet egyszerűsödik α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
A fenti egyenletből a keresztirányú gyorsulás ebben a speciális esetben a következőképpen nyerhető vissza:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }
.
A két dimenzióval ellentétben három dimenzióban a szöggyorsulásnak nem kell a szögsebesség változásával járnia: Ha a részecske helyzetvektora úgy “csavarodik” a térben, hogy pillanatnyi szögeltolódási síkja (pl. a pillanatnyi sík, amelyben a pozícióvektor szöget söpör ki) folyamatosan változik az idővel, akkor még ha a szögsebesség (azaz a sebesség, amellyel a pozícióvektor szöget söpör ki) állandó, akkor is lesz nem nulla szöggyorsulás, mert a szögsebesség-vektor iránya folyamatosan változik az idővel. Ez két dimenzióban nem történhet meg, mert a pozícióvektor egy rögzített síkhoz van kötve, így a szögsebesség bármilyen változásának a szögsebesség nagyságának változásán keresztül kell történnie.
A szöggyorsulásvektort helyesebb pszeudovektornak nevezni: Három összetevője van, amelyek elforgatás esetén ugyanúgy átalakulnak, mint egy pont kartészi koordinátái, de tükrözés esetén nem alakulnak át úgy, mint a kartészi koordináták.
Kapcsolat a nyomatékkalSzerkesztés
A pontszerű részecske nettó nyomatéka a pszeudovektor
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }
,
ahol F {\displaystyle \mathbf {F} }
a részecskére ható nettó erő.
A nyomaték az erő forgási analógja: a rendszer forgási állapotának változását idézi elő, ahogyan az erő a rendszer transzlációs állapotának változását idézi elő. Mivel a részecskére ható nettó erő a részecske gyorsulásával az F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} egyenlet segítségével hozható kapcsolatba. }
, remélhetjük, hogy hasonló összefüggést állíthatunk fel, amely a részecskére ható nettó nyomatékot a részecske szöggyorsulásával köti össze. Ezt a következőképpen tehetjük meg:
Először is, ha F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
a fenti nyomatékegyenletbe, megkapjuk τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}})}
.
Az előző szakaszból azonban levezettük, hogy
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r}mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}
,
hol α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
a részecske keringési szöggyorsulása és ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
a részecske keringési szögsebessége. Ebből következik, hogy τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
A speciális esetben, amikor az r távolság {\displaystyle r}
a részecske távolsága az origótól nem változik az idővel, a fenti egyenlet második tagja eltűnik, és a fenti egyenlet egyszerűsödik τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}
,
amely értelmezhető az F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, ahol a mennyiség m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(a részecske tehetetlenségi nyomatékaként ismert) az m {\displaystyle m} tömeg szerepét játssza.
. Azonban ellentétben F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, ez az egyenlet nem alkalmazható tetszőleges pályára. Következésképpen a nyomaték és a szöggyorsulás közötti általános kapcsolat szükségszerűen bonyolultabb, mint az erő és a lineáris gyorsulás közötti kapcsolat.