Reddit – matematica – Quanto in alto va la matematica? E quali sono i campi più alti del calcolo?
Dopo il Calcolo Multi-Variabile e l’Algebra Lineare, puoi prendere una sequenza chiamata Analisi Introduttiva, che riguarda le basi rigorose del Calcolo, e che introduce il linguaggio delle forme differenziali in modo che i teoremi del calcolo vettoriale possano essere generalizzati a più di tre dimensioni.
Poi dopo si può seguire un corso chiamato Analisi Reale, che inizia con la Teoria della Misura e si occupa di come si può generalizzare l’integrazione per funzioni insolite, e apparentemente patologiche, di una variabile reale, ed è consigliabile una Topologia Generale prima o in concomitanza con questa; può anche includere materiale sugli spazi di funzioni, che sono l’argomento del corso successivo.
Dopo di che, puoi prendere Analisi Funzionale, che al suo centro riguarda i problemi che sorgono quando si fa l’algebra lineare su spazi vettoriali infiniti; anche la conoscenza di Analisi Complessa è consigliabile, a causa di qualcosa chiamato teoria spettrale che ti dice quando puoi prendere un’espressione che funziona bene come una funzione differenziabile complessa e sostituire la variabile con un operatore lineare. (Questo dovrebbe comportare un flashback al teorema Cayley-Hamilton dell’algebra lineare, dove hai imparato che se espandi il polinomio caratteristico di una matrice quadrata e poi sostituisci la variabile con la matrice, ottieni la matrice zero.)
Dopo di che probabilmente seguirai dei corsi su argomenti come la teoria degli operatori e la teoria delle algebre C*, che richiedono inoltre una comprensione a livello universitario dell’algebra astratta; quando arriverai a questo livello, sarai entrato nella scuola di specializzazione e avrai seguito un corso di questo tipo, che è un requisito comune del primo anno.
Questo era solo un tentativo di trovare il “percorso matematico da Calculus”; ce ne sono altri:
Lo sviluppo dell’integrazione multivariabile in Analisi Introduttiva ha un sacco di profonda sostanza geometrica, proprio come Calculus III ha un sacco di contenuto geometrico apparentemente casuale; il percorso precedente riguardava in definitiva la generalizzazione della derivata a funzioni su spazi vettoriali infiniti-dimensionali, ma questo riguarda la generalizzazione ai manifold, che localmente assomigliano allo spazio euclideo finito-dimensionale.
Ora, dopo il Calcolo III, si può avere un assaggio di questo con un corso di laurea sulla Geometria Differenziale di Curve e Superfici, ma la roba seria che funziona per i collettori a più alte dimensioni è a livello di laurea, iniziando con la Geometria Riemanniana e continuando con la Geometria Semi-Riemanniana (in realtà, quasi ogni corso di laurea con “Geometria” nel suo nome, tranne l’infausto “Geometria Algebrica”, è in questo filone). In questo periodo potresti voler prendere Topologia Generale e Topologia Differenziale, ma il primo sarà comunque un requisito generale.
Se conosci la Geometria Semi-Riemanniana, potresti voler imparare più specificamente sui collettori Lorentziani nella Relatività Generale; per quanto riguarda i collettori Calabi-Yau della teoria delle superstringhe, sono meglio compresi attraverso la Geometria Algebrica, e come imparerai man mano che passi attraverso la matematica, la conoscenza matematica stessa non è così isolata come le selezioni dei corsi vorrebbero farti credere.
Se gli aspetti di problem-solving di Calculus II sono più di quello che ti interessa, non c’è davvero molto per quello, anche se l’Introduzione alle Equazioni Differenziali e le Equazioni Differenziali Parziali di livello universitario includono numerose borse di trucchi, così come un paio di classi che non segue del tutto Calculus o l’altro, noto come Matematica Discreta e Teoria Introduttiva dei Numeri (il primo è, tra le altre cose, un’introduzione a due aree sorprendenti e altamente computazionali della matematica chiamate Teoria dei Grafi e Combinatoria; comprende anche una bella introduzione alla logica e alla teoria degli insiemi e spesso serve come classe di introduzione alla scrittura di prove nelle università).
Ci sono classi di Equazioni Differenziali oltre quel livello, ma la maggior parte di esse riguardano come dimostrare che le equazioni hanno effettivamente soluzioni e come si comporterebbero, ma non tanto le soluzioni in forma chiusa o in serie di equazioni specifiche (e lo studio di alto livello delle PDE richiede fondamentalmente Analisi Funzionale e tutto il duro apprendimento che arriva fino a quel punto); c’è una certa sinergia con l’Analisi Numerica, lo studio dei metodi di approssimazione numerica, che è più importante di quanto si possa pensare all’inizio (si potrebbe ignorare la regola del punto medio, il metodo di Newton e il metodo di Eulero in avanti all’inizio, ma funzionano dove non si possono trovare soluzioni in forma chiusa, e i metodi numerici diventano ancora più sofisticati).
Poiché la probabilità e la statistica sono basate su concetti come le medie e l’area, è possibile basarle sulle loro formulazioni più sofisticate con il calcolo e la teoria della misura; fondamentalmente ogni rampa di lancio in quella prima sequenza fino al livello di laurea iniziale può essere usata per iniziare uno studio sempre più serio della statistica.
Le necessità dell’Analisi sono state il principale fattore motivante della teoria degli insiemi, e anche se ne impari abbastanza per andare avanti (e continuare a ripassare) nelle altre lezioni di matematica basate sulle prove, è ancora un’area di ricerca fruttuosa.
Tecnicamente non hai nemmeno bisogno del calcolo o dell’algebra lineare per imparare l’algebra astratta, ma aiuta avere la “maturità matematica” di un corso di algebra lineare prima.
L’Algebra Astratta è dietro la Geometria Algebrica (fondamentalmente, lo studio degli insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali in più di una variabile), la Topologia Algebrica (lo studio degli invarianti algebrici per classificare gli spazi topologici), e un sorprendente numero di cose che possono essere assistite dal calcolo (c’è persino un pacchetto software solo per l’Algebra Commutativa, chiamato CoCoA).
C’è anche dietro la Teoria Algebrica dei Numeri, che attinge da un numero sorprendente di aree della matematica, così come l’altro grande ramo della teoria dei numeri, la Teoria Analitica dei Numeri (l’Analisi Complessa è un prerequisito certo qui); non si direbbe dall’inizio che quasi tutto il resto della matematica deve essere coinvolto per studiare i numeri naturali.
Oh, così come l’Analisi è stata la principale motivazione dietro la Teoria degli insiemi, l’Algebra è stata la principale motivazione dietro la Teoria delle categorie; non sono completamente separate però, perché i gruppi e gli anelli sono descritti come “insiemi con…”, e ci sono sicuramente approfondimenti teorici delle categorie nelle strutture dell’Analisi.
Questo non era nemmeno un resoconto particolarmente approfondito, ma è sufficiente dire che i campi della matematica non sono totalmente ordinati nel livello di difficoltà o nel modo in cui uno studente dovrebbe impararli; non sono nemmeno organizzati in un albero, ma più come un digrafo. (Inoltre, i termini “totalmente ordinati”, “albero” e “digrafo” sarebbero coperti in Matematica Discreta.)
Spesso, l’ordine in cui uno studente imparerebbe più facilmente la matematica è diverso dall’ordine logico in cui la conoscenza è costruita; in particolare, corsi dedicati ai fondamenti della matematica sono a livello di laurea, ma prima, si può lavorare come se i fondamenti fossero solidi.
Ancora, se una tecnica di risoluzione dei problemi è richiesta per una certa classe, la classe dovrebbe essere presa dopo la classe in cui la tecnica viene insegnata, che è il motivo per cui un primo corso di variabili complesse richiede almeno il Calcolo III, dove gli integrali di linea sono prima trattati.