Tipi di numeri
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I numeri sono classificati secondo il tipo. Il primo tipo di numero è il primo tipo che hai imparato a conoscere: il conteggio, o numeri “naturali”:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Il tipo successivo sono i numeri “interi”, che sono i numeri naturali insieme a zero:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(Il numero zero, diffuso dall’India dagli studiosi nordafricani, era originariamente considerato dalle autorità europee come demoniaco.)
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Poi vengono i “numeri interi”, che sono zero, i numeri naturali e i negativi dei naturali:
…, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Il prossimo tipo di numero è quello “razionale”, o frazionario, che tecnicamente è considerato un rapporto (divisione) di numeri interi. In altre parole, una frazione si forma dividendo un intero per un altro intero.
Nota che ogni nuovo tipo di numero contiene il tipo precedente al suo interno. Gli interi sono solo i naturali con lo zero aggiunto. I numeri interi sono solo gli interi con i negativi. E le frazioni sono solo i numeri interi con tutte le loro divisioni. (Ricorda che puoi trasformare qualsiasi numero intero in una frazione mettendolo sopra il numero 1. Per esempio, l’intero 4 è anche la frazione
).
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Una volta che hai imparato le frazioni, c’è un’altra grande classificazione di numeri: quelli che non possono essere scritti come frazioni. Ricorda che le frazioni (conosciute anche come numeri razionali) possono essere scritte come decimali terminanti (finali) o ripetenti; per esempio, 0,5 =
e 0,76 = , sono decimali terminanti, mentre 0,333333…. = e 0,538461538461… = sono decimali ripetenti. D’altra parte, abbiamo tutti quegli altri numeri che possono essere scritti come decimali non ripetitivi e non terminali; questi numeri non sono razionali (cioè, non possono essere scritti come frazioni), quindi sono chiamati “irrazionali”. Esempi potrebbero essere (“la radice quadrata di due”) o il numero (“3,14159…”, dalla geometria). I razionali e gli irrazionali sono due tipi di numeri totalmente separati; non c’è sovrapposizione.
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Mettendo insieme queste due grandi classificazioni, i razionali e gli irrazionali, si ottengono i numeri “reali”. A meno che tu non abbia avuto a che fare con i numeri complessi (i numeri con una “i”, come 4 – 3i), allora ogni numero che hai visto è un numero “reale”. “Ma perché”, vi chiederete, “si chiamano numeri ‘reali’? Ci sono numeri ‘finti’?”. Beh, sì, in realtà ci sono, anche se in realtà sono chiamati numeri “immaginari”; sono ciò che viene usato per fare i numeri complessi, e “immaginario” è ciò che la “i” sta per.
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La domanda più comune che sento riguardo ai tipi di numeri è qualcosa del tipo “Un numero reale è irrazionale, o un numero irrazionale è reale, o nessuno dei due… o entrambi?” A meno che tu non conosca i complessi, tutto quello che hai fatto ha usato numeri reali. A meno che il numero non abbia una “i”, è un reale.
Ecco alcune tipiche domande di tipo numerico (supponendo che tu non abbia ancora imparato gli immaginari e i complessi):
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Vero o falso: Un numero intero è anche un numero razionale.
Siccome qualsiasi numero intero può essere formattato come frazione mettendolo sopra 1, allora questa affermazione è vera.
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Vero o falso: Un numero razionale è anche un intero.
Non necessariamente; l’intero 4 è anche il numero razionale
ma, per esempio, il numero razionale non è anche un intero. Quindi questa affermazione è falsa.
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Vero o falso: Un numero è o un numero razionale o un numero irrazionale, ma non entrambi.
Vero! In forma decimale, un numero è o non terminante e non ripetitivo (quindi è un irrazionale) o non lo è (quindi è un razionale); non c’è sovrapposizione tra questi due tipi di numero!
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Classificare secondo il tipo di numero; alcuni numeri possono essere di più di un tipo.
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0,45
Questo è un decimale terminale, quindi può essere scritto come frazione:
. Poiché questa frazione non si riduce a un numero intero, allora non è un intero o un reale. E tutto è un reale, quindi la risposta è: razionale, reale
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3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Probabilmente riconoscerete questo come π, anche se questo potrebbe essere più decimale di quanto siete soliti usare. Il punto, tuttavia, è che il decimale non si ripete, quindi π è un irrazionale. E tutto (quello che conosci finora) è un reale, quindi la risposta è: irrazionale, reale
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3.14159
Non lasciarti ingannare! Sì, spesso si usa qualcosa del genere come approssimazione di π, ma non è π! Questa è un’approssimazione decimale arrotondata e, poiché questa approssimazione termina, è in realtà un razionale, a differenza di π stesso, che è irrazionale! La risposta è: razionale, reale
Affine
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10
Ovviamente, questo è un numero che conta. Ciò significa che è anche un numero intero e un intero. A seconda del testo e dell’insegnante (c’è una certa incoerenza), questo può anche essere contato come un razionale, che tecnicamente parlando lo è. E naturalmente è anche un reale. La risposta è: naturale, intero, intero, razionale (eventualmente), reale
Questa è una frazione, quindi è un razionale. È anche un reale, quindi la risposta è: razionale, reale
Questo può anche essere scritto come
, che è lo stesso del problema precedente. La risposta è: razionale, reale
Il tuo primo impulso potrebbe essere quello di dire che questo è irrazionale, perché è una radice quadrata, ma nota che questa radice quadrata si semplifica:
, che è solo un intero. La risposta è: intero, razionale, reale
Questo numero è dichiarato una frazione, ma si noti che si riduce a -3, quindi anche questo può contare come un intero. La risposta è: intero (possibilmente), razionale, reale
A parte la sezione del tuo libro dove devi classificare i numeri secondo il tipo, non avrai davvero bisogno di avere molta familiarità con questa gerarchia. È più importante sapere cosa significano i termini quando li senti. Per esempio, se il tuo insegnante parla di “interi”, dovresti sapere che il termine si riferisce ai numeri contati, ai loro negativi e allo zero.
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