双曲線

双曲線

宇宙船の軌道が双曲線になることがあるのをご存知ですか？

宇宙船は惑星の重力で軌道を変え、「重力パチンコ」という技術を使って、惑星から離れて宇宙空間に高速で推進することができます。

（重力フリープレイで遊ぶ）

定義

双曲線とは、無限の弓のような2つの曲線のことです。

片方の曲線だけを見ると、

どの点PもGよりFにある一定量だけ近い

もう一方の曲線は鏡像で、FよりGに近い

言い換えれば、PからFまでの距離はPからGまでの距離より常にある一定量少ないのである。 (そして、もう一つの曲線については、PからGは常にPからFよりもその一定量だけ小さい。)

それぞれの弓は枝といい、FとGは焦点と呼ばれる。

試しに点Pを動かしてみて、PFとPGの長さについて何か気づきがありますか。

また点Pをもう一方の枝に置いてみてください。

他にも面白いことがあります。

図を見てみると、以下のことがわかります。

• 対称軸（各焦点を通る）
• 2つの頂点（各曲線が最も急旋回する場所）
• 頂点間の距離（図の2a）は、定数である。 PF と PG の長さの差
• 双曲線の一部ではないが、曲線が4方向に無限に続く場合の2つの漸近線

とする。 厳密には、双曲線の2つの枝を分ける、真ん中を通るもう1本の対称軸も存在します。

円錐断面 二重円錐を切っても双曲線になることがありますね。 切り口は放物線より急でなければなりませんが、双曲線が対称であるためには 円錐の軸と平行である必要はありません。

Equation

x-yグラフ（x軸とy軸を中心としたグラフ）に双曲線を配置すると、その方程式は次のようになります。

x2a2 – y2b2 = 1

また：

一方の頂点は（a，0）にあり、他方は（-a，0）

漸近線は直線である。

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

（注：方程式は楕円の方程式と似ています。 x2/a2 + y2/b2 = 1、ただし「+」の代わりに「-」がある）

離心率

双曲線の任意の枝は、

• 固定点（焦点）と
• 固定直線（直角）からの任意の点の距離が常に同じ比率である曲線としても定義できる。

この比率を離心率と呼び、双曲線では常に1より大きい。

離心率（通常はeで表示）は、双曲線がいかに「曲がっていない」（円から変化している）かを示します。

この図で、

• P は曲線上の点、
• F は焦点、
• N はPN が直交するように直交座標上の点である。

離心率はPF/PNの比であり、式：

e = √(a2+b2)a

上図のa、bを用いる。

Latus Rectum

焦点を通り、直交する線がLatus Rectumである。 直線の長さは2b2/aです。

1/x

逆関数y=1/xは双曲線です！