微分積分学
OptimizationEdit
fがℝ（または開区間）上の微分可能関数で、xがfの局所最大または局所最小であればxにおけるfの微分は0である。 f'(x) = 0 となる点を臨界点または定常点と呼ぶ（また、x における f の値を臨界値と呼ぶ）。 f がどこでも微分可能であると仮定しない場合、微分不可能な点もまた臨界点と呼ばれる。
fが2回微分可能であれば、逆にfの臨界点xはxにおけるfの2階微分を考えることによって分析することができる：
- それが正ならばxは局所最小、
- それが負ならばxは局所最大、
- それが0ならばxは局所最小、局所最大、あるいはどちらでもあり得ることになる。 (例えば f(x) = x3 は x = 0 に臨界点があるが、そこでは最大でも最小でもない。一方 f(x) = ± x4 は x = 0 に臨界点があり、そこでそれぞれ最小と最大となる)
これは二次導関数テストと呼ばれています。
したがって、導関数をとって臨界点を解くことは、しばしば局所極小値や極大値を見つける簡単な方法であり、最適化に役立つことがある。 極値定理により、閉区間上の連続関数は少なくとも一度は最小値と最大値に到達しなければならない。 もし関数が微分可能なら、最小値と最大値は臨界点か終点でしか発生しない。
これはグラフのスケッチにも応用できる。いったん微分関数の局所最小値と最大値が見つかったら、臨界点の間で増加または減少するという観察から、グラフの大まかなプロットが得られる。
高次元では、スカラー値関数の臨界点は勾配がゼロの点である。 臨界点における関数の2偏導関数のヘシアン行列の固有値を考えることによっても、2次導関数検定は臨界点の分析に使用することができる。 すべての固有値が正であれば、その点は局所最小であり、すべてが負であれば局所最大である。 もしいくつかの正の固有値といくつかの負の固有値があれば、臨界点は「鞍点」と呼ばれ、これらのケースのいずれもが成立しない（すなわち、いくつかの固有値がゼロである）場合、テストは決定的でないとみなされる。 変分法
最適化問題の一例を挙げる。 曲面上の2点間の最短曲線を求め、その曲線も曲面上になければならないと仮定する。 曲面が平面であれば、最短曲線は直線となる。 しかし、表面が例えば卵形の場合、最短経路はすぐにはわからない。 このような経路は測地線と呼ばれ、変分学で最も基本的な問題の1つは測地線を見つけることである。 他の例としては 空間の閉曲線を埋める最小の面積の曲面を求めよ。 この表面は最小表面と呼ばれ、それも変分法を使用して見つけることができます。
PhysicsEdit
微積分は物理学で非常に重要です：多くの物理現象は、微分方程式と呼ばれる微分を含む方程式で記述されています。 物理学は、特に量が時間の経過とともに変化し、発展する方法に関係し、 “時間微分 “の概念 – 時間の経過とともに変化の割合は – いくつかの重要な概念の正確な定義に不可欠である。 特に、物体の位置の時間微分はニュートン物理学において重要です。
- 速度は物体の変位（元の位置からの距離）の（時間に関する）微分で、
- 加速度は物体の速度の（時間に関する）微分で、つまり物体の位置の（時間に関する）2次微分と言えます。
例えば、直線上の物体の位置が
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32で与えられるとすると、{displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\} となります。
すると、物体の速度は
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {}displaystyle {dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\!} である。
そして物体の加速度は
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = -32 , {displaystyle {ddot {x}}(t)=x”(t)=-32,\!} となります。
定数である。
微分方程式編集
微分方程式とは、関数の集まりとその微分との関係である。 常微分方程式は、1変数の関数とその変数に関する導関数の関係を表す微分方程式である。 偏微分方程式は、2つ以上の変数の関数とその偏微分との関係を表す微分方程式である。 微分方程式は物理科学、数学的モデリング、数学そのものの中で自然に発生する。 例えば、加速度と力の関係を記述したニュートンの第二法則は、常微分方程式
F ( t ) = m d 2 x d t 2 として記述することができる。 {F(t)=m{frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.} .
直棒を熱が拡散する様子を表す空間変数1つの熱方程式は偏微分方程式
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {displaystyle {frac {}{partial u}{partial t}}=⑷{frac {}{partial ^{2}u}{partial x^{2}}}.}} .
ここでu(x,t)は位置xと時間tにおける棒の温度、αは棒を通る熱の拡散速度に依存する定数である。(2-3¡)-(3+2)
平均値定理編集
with a < b {displaystyle a<b}.
there is a c∈( a , b ) {displaystyle cint (a,b)} ……………….（以下同）。
with f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {displaystyle f'(c)={tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 。
.
平均値の定理は、微分の値と元の関数の値との関係を与えるものである。 f(x)が実数値の関数で、aとbがa < bの数だとすると、平均値の定理は、穏やかな仮定の下では、2点（a、f(a)）と（b、f(b)）間の傾きが、aとbの間のある点cでのfの接線の傾きに等しいということを述べています。 すなわち、
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.} となります。
実際には、平均値の定理が行うことは、関数をその微分で制御することである。 例えば、fが各点で0に等しい微分を持っているとします。 これは、その接線がすべての点で水平であることを意味するので、関数も水平になるはずです。 fのグラフ上の任意の2点間の傾きは、fの接線のいずれかの傾きに等しくなければならない。 しかし、これは関数が上にも下にも動かないということだから、水平な線でなければならない。 7712>
テイラー多項式とテイラー級数編集
微分は与えられた点での関数の最良の線形近似を与えるが、これは元の関数とは大きく異なることがある。 近似を改善する方法の1つは2次近似をとることです。 つまり、実数値関数f(x)の点x0での線形化は線形多項式a + b(x – x0)であるが、2次多項式a + b(x – x0) + c(x – x0)2を考えるとより良い近似が得られるかもしれない。 さらに良いのは3次多項式 a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3 で、この考えは任意の高次多項式に拡張することが可能である。 これらの多項式のそれぞれについて、近似をできるだけよくする係数a、b、c、dの最良の選択があるはずである。
x0の近傍において、aについて最良の選択は常にf(x0)であり、bについて最良の選択は常にf'(x0)である。 c、d、および高次の係数については、これらの係数はfの高次導関数によって決定される。cは常にf”(x0)/2、dは常にf”(x0)/3でなければならない！(訳注:f”(x0)はf”’x0)の高次導関数である。 次数dのテイラー多項式は、fを最もよく近似する次数dの多項式で、その係数は上の公式の一般化で求めることができます。 テイラーの定理は、近似の良し悪しについて正確な境界を与えます。 fがd以下の次数の多項式であれば、次数dのテイラー多項式はfに等しい。
テイラー多項式の極限はテイラー級数と呼ばれる無限級数である。 テイラー級数は元の関数に非常によく近似することが多い。 テイラー級数に等しい関数は解析関数と呼ばれます。 不連続面や鋭い角を持つ関数は解析的であることが不可能であり、さらに解析的でない滑らかな関数も存在する。 暗黙関数定理
円のような自然幾何学的形状は、関数のグラフとして描けないものがある。 例えば f(x, y) = x2 + y2 – 1 とすると、円は f(x, y) = 0 となるすべての対 (x, y) の集合であり、この集合は f の零集合と呼ばれ、放物線である f のグラフとは異なる。 陰関数定理は、f(x, y) = 0 のような関係を関数に変換するものである。 これは、fが連続微分可能であれば、ほとんどの点でfのゼロ集合は関数のグラフを貼り合わせたような形になる、というものです。 例えば、円は±√1 – x2 の2つの関数のグラフを貼り合わせたものである。 円上の(-1, 0)と(1, 0)を除くすべての点の近傍で、この2つの関数のどちらかが円のようなグラフを持つのである。 (この2つの関数は偶然にも(-1, 0)と(1, 0)に出会うが、これは陰関数定理で保証されていない)
陰関数定理は、関数が反転関数のグラフを貼り合わせたように見える場合を示す、逆関数定理と密接な関係がある。