Reddit – 数学 – 数学はどこまで高いのですか？ また、微積分より高い分野は何でしょうか？
多変数微積分と線形代数の後に、微積分の厳密な基礎について、ベクトル微積分の定理を3次元以上に一般化できるように微分形式の言語を導入する入門解析というシーケンスを取るとよいでしょう。
その後、「実解析学」という授業を取るとよいでしょう。これは測度論から始まり、実変数の珍しい、一見病的とも思える関数に対する積分をどのように一般化するかということに関係しており、その前か同時に一般トポロジーを取るとよいでしょう。
その後、関数解析学を履修することができますが、その核心は無限次元ベクトル空間上で線形代数を行うときに生じる問題についてです。複素微分可能な関数としてうまく働く式を取り上げ、変数を線形演算子に置き換えるときに、スペクトル理論というものがあるため、複素解析学の知識もあるとよいでしょう。 (これは線形代数学のCayley-Hamiltonの定理を思い起こさせるもので、正方行列の特性多項式を展開し、その行列で変数を置き換えると、ゼロ行列が得られることを学びましたね。)
その後、作用素論やC*-代数論のようなトピック・コースを取ることになるでしょうが、これはさらに抽象代数学の大学院レベルの理解を必要とします。このレベルに到達する頃には、大学院に入学しているので、一般的に1年生の必須科目であるこのクラスをとっていることでしょう。
これは微積分から「先の数学の道」を見つけるための一つの試みに過ぎず、他にもあります：
入門解析の多変数積分の展開には、微積分IIIに一見ランダムに見える多くの幾何的内容があるのと同じように、多くの深い幾何的内容があります；前の道は結局、無限次元ベクトル空間上の関数に微分を一般化することでしたが、今回の道はそれを多様体に一般化しようという話です、それは局所的には有限次元ユークリッド空間みたいに見えますね。
さて、微積分 III の後、曲線と曲面の微分幾何学についての学部授業で、これを垣間見ることができますが、高次元の多様体について本格的に取り組むのは、リーマン幾何学に始まり準リーマン幾何学に続く大学院レベルです（実際、不吉な「代数幾何学」を除いて、「幾何」と名のつく大学院レベルの授業はほとんどこの系統のものなのですが)。 このあたりで、General TopologyとDifferential Topologyを履修するといいかもしれませんが、前者はいずれにせよ一般的な要件となるでしょう。
半リーマン幾何学を知っていれば、一般相対性理論のローレンツ多様体についてもっと具体的に学びたくなるかもしれません。超弦理論のカラビ・ヤウ多様体については、代数幾何学を通して最もよく理解できます。数学を通して学ぶように、数学知識自体はコース選択にあるようなサイロ化したものではないです。
もし、Calculus II の問題解決的な側面に興味があるのなら、そのためのものはあまりありませんが、学部レベルの Introduction to Differential Equations と Partial Differential Equations には多数のトリックがあり、また Discrete Mathematics と Introductory Number Theory という Calculus や他のクラスから全くフォローアップされていない 2 つのクラス（前者はとりわけ Graph Theory と Combinatorics という数学の驚くべき高度な計算領域への入門となります）があります。 また、論理学と集合論の入門書でもあり、大学では証明の書き方入門の授業としてよく使われています）。
そのレベル以上の微分方程式のクラスもありますが、そのほとんどは方程式が実際に解を持ち、それがどのように振る舞うかを証明する方法であり、特定の方程式に対する閉形式や級数解についてはあまり触れません（PDEs のハイレベルな研究には、基本的に関数解析とそこに至るまでのすべての難しい学習が必要となります）。 数値近似の方法を研究する数値解析との相乗効果もあり、これは最初に考えたよりも重要です（最初は中点法、ニュートン法、前進オイラー法を払いのけるかもしれませんが、閉形式の解が見つからないところでこれらは機能し、数値的方法はさらに高度になります）。
確率と統計は平均や面積などの概念に基づいているので、微積分と測度論でより洗練された定式化に基づくことが可能で、基本的に大学院初級までの最初のシーケンスのどのオフランプでも、統計のますます真剣な研究を始めるのに使うことができます。
解析学のニーズは集合論の背後にある主要な動機づけ要因であり、他の証明ベースの数学のクラスで何とかなるように（そして再キャッピングを続ける）それを十分に学びますが、それはまだ研究の実りある領域です。
技術的には、抽象代数を学ぶのに微積分や線形代数は必要ないくらいですが、事前に線形代数の授業で「数学的成熟度」を高めておくと便利です。
抽象代数学は、代数幾何学（基本的に、2変数以上の多項式方程式の解集合の研究）、代数トポロジー（位相空間を分類するための代数的不変量の研究）、および計算によって支援できる驚くべき数のもの（CoCoAという可換環論のためのソフトウェアパッケージさえある）の背後にあります。
また、代数的整数論の背後にあり、それは数学の驚くほど多くの分野から引き出され、数論のもうひとつの主要な枝である解析的整数論（ここでは複素解析が明確な前提条件となる）でも同様です；自然数の研究に数学の残りのほぼすべてを持ち込む必要があるとは、最初から想像もつかないでしょう。
ああ、解析学が集合論の主な動機であったように、代数学はカテゴリー論の主な動機でした。しかし、群や環は「…を持つ集合」として記述されますし、解析学の構造には確実にカテゴリー論的洞察がありますから、完全に分離されてはいないんです。
これは特に徹底的な説明でもなかったのですが、数学の分野は難易度や学習方法において完全に順序付けされているわけではなく、ツリー状ですらなく、むしろダイグラフのように構成されていると言えば十分でしょう。 (また、「完全な順序」、「木」、「ダイグラフ」という用語は、「離散数学」で扱うことになります。)
学生が数学を最も容易に学べる順序と、知識が蓄積される論理順序は異なることが多く、特に数学の基礎に関する専門科目は大学院レベルですが、その前は基礎がしっかりしているものとして作業すればよいのです。
それでも、ある授業で問題解決のテクニックが必要な場合は、そのテクニックを教える授業の後に受講すべきですから、複素変数の最初のコースでは、線積分を最初にカバーする微積分学IIIが少なくとも必要なのは、そのためです。