Je hebt het mis over Common Core-wiskunde: Sorry, ouders, maar het is logischer dan jullie denken
Iedereen heeft inmiddels het verontwaardigde beeld gezien van het werkstuk van een derdeklasser waarin hij een onvoldoende krijgt voor zijn bewering dat 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15. Voor het geval je het gemist, hier zijn video’s en verhalen van verschillende groepen rippen Common Core voor: Business Insider, IFLScience, Huffington Post en mom.me – en ik weet zeker dat je er nog veel meer kunt vinden nu de foto van het papier van dit kind viraal is gegaan.
Je herinnert je misschien ook de foto van een cheque die nog niet zo lang geleden viral ging – een man vulde een cheque in voor de school van zijn zoon door te proberen het bedrag van de cheque in tien frames te schrijven. Er zijn talloze andere soortgelijke foto’s met bijbehorende spot voorbijgekomen via sociale media en e-mail (meer over deze voorbeelden in een moment).
In de nationale discussie over Amerika’s vermeende onderwijsproblemen zijn de Common Core-normen een beetje een samenbindende boksbal geworden, vooral met betrekking tot wiskunde op de basisschool. Iedereen lijkt te houden van een foto van een test vraag, huiswerk probleem of gecorrigeerd werk dat de Common Core belastert. Je kent het type wel – de vraag vraagt de leerlingen een schijnbaar eenvoudig elementair wiskundeonderwerp te laten zien, maar vereist dat het antwoord wordt gegeven op wat een overdreven ingewikkelde manier lijkt te zijn. We kijken ernaar en zeggen: “Waarom kunnen ze het niet gewoon op de normale manier doen?!?” We zijn verontrust over de weergave van iets dat we zien als zo elementair en elementair in een nieuwe en onbekende opstelling, en we zijn verontwaardigd wanneer we zien dat het werk van een student wordt afgekeurd terwijl het correct lijkt te zijn.
De overgrote meerderheid van de commentaren en de dekking van deze virale beelden en verhalen is zeer kritisch over de Common Core. Hier is het ding echter – al deze kritiek komt neer op een fundamenteel misverstand over de Common Core State Standards (CCSS).
Virtueel elk voorbeeld van een van deze aanvallen op de Common Core vallen in een van de twee categorieën:
- De mensen die het voorbeeld verspreiden (en het in de prullenbak gooien) misten het punt van de Common Core-norm in kwestie
- De opvoeder die verantwoordelijk is voor het voorbeeld miste het punt van de Common Core-norm in kwestie
Overweeg de tien frames check (die in de eerste categorie valt) – de vader was gefrustreerd door een weergave van getallen waarmee hij niet vertrouwd was en het paste mooi in zijn vooringenomen idee dat de Common Core verschrikkelijk is, en alleen maar dient om leerlingen en ouders te verwarren. Hier is een artikel dat een meer uitgebreid werk van skewassing zijn reactie, maar in het kort, deze vader is boos omdat hij niet onmiddellijk herkennen en begrijpen van een concept wordt onderwezen aan zijn tweede grader. In plaats van te proberen het te begrijpen en het doel ervan te begrijpen, maakt hij het belachelijk, en andere soortgelijke gefrustreerde ouders springen aan boord.
In feite zijn tien frames een manier om ons telsysteem visueel te modelleren, waardoor kinderen het beter begrijpen. Ze zijn nooit bedoeld om onze huidige manier van het schrijven van getallen te vervangen – ze zijn ontworpen als een aanvullend hulpmiddel om te helpen bij een dieper begrip. Het kan zeker frustrerend zijn voor ouders om in eerste instantie vast te zitten met het huiswerk van je kinderen, vooral als ze in de eerste klassen zitten. Zeker, er zijn leraren die niet altijd de juiste opdracht geven, of die ouders niet de middelen geven om iets te begrijpen dat nieuw voor hen kan zijn, maar laten we uiteindelijk niet vergeten dat we allemaal op zoek zijn naar de beste onderwijsresultaten voor onze kinderen. En laten we eerlijk zijn, de manier waarop we in Amerika al generaties lang wiskunde onderwijzen heeft niet voor iedereen gewerkt, en daarom hebben we een zeer groot deel van onze bevolking dat simpelweg zegt: “Ik kan geen wiskunde.” Waarom staan we dan afwijzend tegenover nieuwe manieren om de basisideeën van de wiskunde te conceptualiseren?
Neem nu de 5 x 3 vraag. Volgens IFLScience (waar ik overigens dol op ben), spraken Reddit- en Imgur-commentatoren hun verontwaardiging uit over “het al te pedante ‘volgens het boekje’ denken.” Het geheel leest als een beschuldiging van Common Core als verstikkend voor wiskundig denken ten gunste van strenge en willekeurige definities en algoritmen. En toch, dit is een volledig verkeerde interpretatie van Common Core. De verontwaardiging is gerechtvaardigd, het is gewoon misplaatst – dit voorbeeld is van het tweede type dat ik hierboven noemde, waarin de opvoeder de normen verkeerd heeft begrepen en verkeerd heeft toegepast met een te enge letterlijke lezing ervan.
De norm in kwestie zegt: “Interpreteer producten van gehele getallen, bijvoorbeeld, interpreteer 5 × 7 als het totale aantal objecten in 5 groepen van elk 7 objecten.” Deze leraar heeft deze norm blijkbaar zo gelezen dat de enige manier om 5 x 7 (of in het geval van het papier in kwestie, 5 x 3) te zien is als 5 groepen van elk 7 objecten. Dus voor 5 groepen van 3 objecten kan dat eruit zien als 3 + 3 + 3 + 3 + 3. En toch, “bijvoorbeeld” betekent “bijvoorbeeld”, niet “Dit is de enige geldige interpretatie.” Een redelijke interpretatie van de norm door een wiskundig onderlegd persoon zou het mogelijk moeten maken om 5 x 3 te interpreteren als 5+5+5, of 3 groepen van elk 5 objecten, vooral als je bedenkt dat vier normen lager op de lijst die over commutatie (samen met andere eigenschappen) in vermenigvuldiging staat, bijv. 5 x 3 is gelijk aan 3 x 5 (let op, de e.g. die ik net gebruikte betekent dat dit slechts één voorbeeld is; de eigenschap geldt ook voor oneindig veel andere paren van getallen – zie je hoe dat werkt?). Het uiteindelijke doel van deze normen is onze kinderen te helpen hun fundamenteel begrip van ons getallenstelsel en van elementaire rekenkunde te ontwikkelen, en dus als een leerling intuïtief weet dat 5 x 3 gelijk is aan 3 x 5 en dat ze beide kunnen worden voorgesteld als 3 rijen van 5 voorwerpen of 5 rijen van 3 voorwerpen of 3 stapels van 5 centen of 5 stapels van 3 appels of … nou ja, je snapt het wel, dan hebben we ons doel bereikt!
Het interpreteren van vermenigvuldiging op de hierboven beschreven manier is helemaal niet nieuw; het is eerder standaardwerk om te begrijpen wat vermenigvuldiging is. Misschien is het idee om leerlingen het voorbeeld op papier te laten zien meer een nieuw fenomeen, en ja, de Common Core pleit er zeker voor dat opvoeders leerlingen aanmoedigen om te interageren met manieren om de wiskundige concepten die ze leren te modelleren, zodat ze die beter beheersen. Het vereist echter geen strikte naleving van smalle, willekeurig gekozen interpretaties van deze modellen, en opvoeders die hun onderwijs op die manier richten, doen het verkeerd.
Voor een ander voorbeeld, overweeg deze afbeelding, die ik voor het eerst ontving in een doorgestuurde e-mail (deze specifieke versie ervan was blijkbaar afkomstig van de website van David Van Sant, een recente Republikeinse kandidaat voor het Georgia State House, die verloor van een collega-republikein), over een wiskundeprobleem dat viraal is gegaan, wat heeft geholpen om mensen tegen Common Core op te stoken.
Op het eerste gezicht lijkt het diagram van de Common Core-aanpak misschien onnodig ingewikkeld, vooral in vergelijking met de opzet van het standaardaftrekalgoritme waarmee we allemaal zijn opgegroeid (om nog maar te zwijgen van het feit dat de afbeelding de opzet van het standaardalgoritme toont, maar niet daadwerkelijk het proces laat zien, dat eigenlijk niet zo eenvoudig is met het lenen dat nodig zal zijn). De meesten zullen naar het diagram van de getallenlijn kijken, in één oogopslag een aantal stappen zien die niet veel zin lijken te hebben, en het accepteren als verder bewijs ter ondersteuning van een reeds ontluikende verontwaardiging over Common Core, mede dankzij een gezonde bijschotel van bevestigingsbias.
Een nadere beschouwing van de methode kan echter onthullen dat het gebruik van de getallenlijn (een belangrijk visueel hulpmiddel bij rekenen en algebra) deze methode in staat stelt om op een andere manier te denken over optellen en aftrekken en hun relatie tot elkaar – een vitale manier van denken voor studenten die we graag rekenkunde op een diep genoeg niveau willen begrijpen om het leren van hogere niveaus van wiskunde op een zinvolle manier te vergemakkelijken (wat in wezen alle studenten zouden moeten zijn).
Als u het tweede diagram nog niet begrijpt, denk dan aan de manier waarop mensen vroeger in de winkel wisselgeld teruggaven (misschien een beetje een verloren kunst tegenwoordig). Stel dat u iets kocht dat $8,27 kostte en betaalde met een $20. De bediende zou beginnen bij de waarde van het gekochte artikel (in dit geval $8,27), dan beginnen met het wisselgeld, en u eerst op $8,30 brengen, dan op het niveau van 50 cent, dan op een even dollarbedrag, dan op een tien dollarbedrag, enzovoort, totdat de waarde was gebracht op de $20 waarmee u betaalde:
“Oké, 8,27 dollar, 30 cent <drie stuivers in je hand>, en 20 erbij is 50 cent <twee dubbeltjes in je hand>, en twee kwartjes maakt negen <twee kwartjes in je hand>, en tien <een dollar geven>, en tien erbij maakt twintig <een tien geven>.”
De aanpak is een volkomen verstandige manier om wisselgeld te geven voor mensen – het richt zich op ronde getallen die we gemakkelijker kunnen optellen en aftrekken, en het richt zich op de ware essentie van aftrekken – het verschil tussen de twee bedragen waarnaar verwezen wordt. In het geval van het wisselgeld is dat het verschil tussen wat je had moeten betalen en wat je hebt betaald (met andere woorden, je wisselgeld). Het verticale aftrekalgoritme dat we op school hebben geleerd, maakt dit niet duidelijk – het is een uit het hoofd geleerd algoritme dat efficiënt met potlood en papier kan worden gedaan door iemand die het heeft geoefend en het kan zeker zinvol worden gemaakt door het bestuderen van ons tientallig stelsel door de nadruk te leggen op de plaatsen van de verschillende cijfers en het concept van lenen wanneer dat nodig is.
Wanneer het gaat om het doen van aftrekproblemen zoals deze in je hoofd, vermoed ik dat de meeste mensen die uitblinken in dit soort mentale wiskunde een methode gebruiken die vergelijkbaar is met het getallenlijndiagram dat wordt getoond (het zogenaamd lachwekkende Common Core voorbeeld). De mogelijkheid om het probleem te visualiseren en op te splitsen, stelt iemand in staat om de waarden gemakkelijker bij te houden en consistenter en efficiënter het juiste resultaat te produceren zonder potlood op papier te zetten.
Hier is een hilarisch voorbeeld van een ouder die de Common Core aan de schandpaal nagelt (ik vond dit in een Google-afbeelding zoeken, maar ik geloof dat ik me herinner dat deze de ronde deed via e-mail of Facebook):
Dit probleem is een beetje cherry-picked in die zin dat het geen “lenen” vereist in het standaard algoritme, dus dit probleem is veel eenvoudiger te voltooien volgens die traditionele methode. En toch, de humor van de ouder daargelaten, het punt van het getallenlijnmodel is niet om het meest efficiënte algoritme te leren om aftrekken uit te voeren, het is om leerlingen te helpen begrijpen wat aftrekken is.
Ik suggereer zeker niet dat we het standaardaftrekalgoritme niet moeten leren dat we allemaal zijn opgegroeid om te leren, en de Common Core is dat ook niet. In de CCSS, het is eigenlijk aangeduid als de “standaard algoritme” voor optellen en aftrekken, en de CCSS eisen dat leerlingen volledig beheersen het voor meercijferige getallen aan het einde van de vierde klas. Ik suggereer ook niet dat het hoofddoel van wiskundelessen moet zijn leerlingen in staat te stellen ingewikkelde mentale wiskunde uit te voeren zonder potlood en papier te gebruiken. Het doel van wiskundelessen zou moeten zijn om een diepgaand begrip te kweken van de mechanismen die we onderwijzen, en dat is waar leerlingen dwingen om een verscheidenheid aan technieken te leren voor aftrekken, bijvoorbeeld, leerlingen in staat kan stellen om een concept vanuit een verscheidenheid aan richtingen te benaderen, met behulp van een verscheidenheid aan hulpmiddelen, en het te koppelen aan andere concepten die ze leren. Dit is, in een notendop, wat het onderwijzen van wiskundig begrip op een diep niveau zou moeten doen. En deze verscheidenheid aan benaderingen om diep niveau begrip op te bouwen is precies wat de Common Core probeert te doen.
Voor al het geklaag over de CCSS, en in het bijzonder de wiskundestandaarden die mensen graag haten met deze beelden van onbekende methoden en modellen of van werk dat op onverklaarbare wijze wordt afgewaardeerd, zijn ze eigenlijk best goed. Het idee erachter – in een poging om veel van de leerstandaarden die eerder uit waren te verbeteren – is om diepte van begrip aan te moedigen, en daar zijn ze zeker op gericht. Ze zijn niet perfect – als wiskundeleraar op een middelbare school heb ik wat problemen met hoeveel er in bepaalde cursussen wordt gepropt en met bepaalde onderwerpen die misschien te veel de nadruk krijgen. Maar deze dingen kunnen in de loop der tijd worden aangepast, zonder ze helemaal te schrappen. En zelfs als ze niet worden verbeterd, zou een bekwame en competente leraar de CCSS absoluut een werkbare reeks normen moeten vinden – een verbetering ten opzichte van wat we eerder hadden. Wat we nodig hebben, om zo goed mogelijk les te geven volgens deze normen, is de best mogelijke groep leerkrachten, en een sterkere nationale nadruk op de waarde van onderwijs. Het laatste wat we nu nodig hebben, naar mijn mening als opvoeder, is om opnieuw te beginnen met een nieuwe reeks normen net nu we gewend raken aan de Common Core.