Hiperbola

Hiperbola

Czy wiesz, że orbita statku kosmicznego może czasami być hiperbolą?

Samolot kosmiczny może użyć grawitacji planety, aby zmienić swoją ścieżkę i wystrzelić z dużą prędkością z dala od planety i z powrotem w przestrzeń kosmiczną, używając techniki zwanej „procą grawitacyjną”.

Jeśli tak się stanie, wtedy ścieżka statku kosmicznego jest hiperbolą.

(Zagraj z tym w Gravity Freeplay)

Definicja

Hiperbola to dwie krzywe, które są jak nieskończone łuki.

Patrząc tylko na jedną z krzywych:

każdy punkt P jest bliżej F niż G o pewną stałą wartość

Druga krzywa jest lustrzanym odbiciem i jest bliżej G niż F.

Innymi słowy, odległość od P do F jest zawsze mniejsza niż odległość P do G o pewną stałą wartość. (A dla drugiej krzywej odległość P do G jest zawsze mniejsza od odległości P do F o tę stałą wartość.)

Każdy łuk nazywamy gałęzią, a F i G nazywamy ogniskiem.

Spróbuj sam:

Spróbuj przesunąć punkt P: co zauważysz o długościach PF i PG ?

Spróbuj też umieścić punkt P na drugiej gałęzi.

Jest też kilka innych ciekawych rzeczy:

Na wykresie możesz zobaczyć:

• oś symetrii (która przechodzi przez każde ognisko)
• dwa wierzchołki (gdzie każda krzywa wykonuje swój najostrzejszy zwrot)
• odległość między wierzchołkami (2a na wykresie) jest stałą różnica między długościami PF i PG
• dwie asymptoty, które nie są częścią hiperboli, ale pokazują, gdzie krzywa mogłaby przebiegać, gdyby była kontynuowana w nieskończoność w każdym z czterech kierunków

I, ściśle mówiąc, istnieje również inna oś symetrii, która biegnie przez środek i oddziela dwie gałęzie hiperboli.

Przekrój kanoniczny Można również otrzymać hiperbolę, gdy przetniemy podwójny stożek. Przekrój musi być bardziej stromy niż ten dla paraboli, ale nie musi być równoległy do osi stożka, aby hiperbola była symetryczna. Więc hiperbola jest przekrojem stożkowym (przekrojem stożka).

Równanie

Umieszczając hiperbolę na wykresie x-y (ze środkami na osi x i osi y), równaniem krzywej jest:

x2a2 – y2b2 = 1

Również:

Jeden wierzchołek leży w punkcie (a, 0), a drugi w punkcie (-a, 0)

Asymptotami są proste:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Uwaga: równanie jest podobne do równania elipsy: x2/a2 + y2/b2 = 1, z tym że zamiast „+” występuje „-„)

Ekscentryczność

Każdą gałąź hiperboli można również zdefiniować jako krzywą, na której odległości dowolnego punktu od:

• stałego punktu (ogniska), oraz
• stałej prostej (direktora)są zawsze w tym samym stosunku.

Ten stosunek nazywa się mimośrodowością, a dla hiperboli jest on zawsze większy niż 1.

Mimośród (zwykle przedstawiany jako litera e) pokazuje, jak bardzo hiperbola jest „niekrzywiznowa” (różni się od okręgu).

Na tym wykresie:

• P jest punktem na krzywej,
• F jest ogniskiem i
• N jest punktem na osi kierunkowej tak, że PN jest prostopadła do osi kierunkowej.

Ekscentryczność jest stosunkiem PF/PN i ma wzór:

e = √(a2+b2)a

Używając „a” i „b” z powyższego wykresu.

Latus Rectum

Latus Rectum to prosta przechodząca przez ognisko i równoległa do direktora. Długość Latus Rectum wynosi 2b2/a.

1/x

Funkcja odwrotna y = 1/x jest hiperbolą!

.