Przyspieszenie kątowe
Cząstka w dwóch wymiarachEdit
W dwóch wymiarach, orbitalne przyspieszenie kątowe jest szybkością, z jaką zmienia się dwuwymiarowa orbitalna prędkość kątowa cząstki wokół początku. Chwilowa prędkość kątowa ω w dowolnym punkcie czasu dana jest wzorem
ω = v ⊥ r {{displaystyle ẋomega ={{frac {v_{perp }}{r}}}
,
gdzie r {{displaystyle r}
jest odległością od początku, a v ⊥ {displaystyle v_{perp }}
jest składową poprzeczną prędkości chwilowej (tj. składową prostopadłą do wektora położenia), która umownie jest dodatnia dla ruchu przeciwnego do ruchu wskazówek zegara i ujemna dla ruchu zgodnego z ruchem wskazówek zegara.
Więc chwilowe przyspieszenie kątowe α cząstki jest dane wzorem
α = d d t ( v ⊥ r ) {displaystyle ≥{frac {d}{dt}}({frac {v_{perp }}{r}})}).
.
Rozszerzając prawą stronę za pomocą reguły iloczynu z rachunku różniczkowego, to staje się
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {displaystyle \\alpha ={{{frac {1}{r}}}{{{dv_{perp}}{dt}}-{{{{frac {v_{perp}}{r^{2}}}}{{{frac {dr}{dt}}}}.
.
W szczególnym przypadku, gdy cząstka porusza się po okręgu wokół początku, d v ⊥ d t {{displaystyle {{frac {dv_{perp }}{dt}}}}
staje się tylko przyspieszeniem stycznym a ⊥ {displaystyle a_{perp }}
, a d r d t {displaystyle {frac {dr}{dt}}
znika (ponieważ odległość od początku jest stała), więc powyższe równanie upraszcza się do α = a ⊥ r {displaystyle ≥{displaystyle {a_{perp}}{r}}}
.
W dwóch wymiarach przyspieszenie kątowe jest liczbą ze znakiem plus lub minus wskazującą orientację, ale nie wskazującą kierunku. Znak umownie przyjmuje się za dodatni, jeżeli prędkość kątowa rośnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara lub maleje w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, a znak przyjmuje się za ujemny, jeżeli prędkość kątowa rośnie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara lub maleje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Przyspieszenie kątowe może być wtedy określane jako pseudoskalar, wielkość liczbowa, która zmienia znak pod wpływem inwersji parzystości, takiej jak odwrócenie jednej osi lub przełączenie dwóch osi.
Cząstka w trzech wymiarachEdit
W trzech wymiarach, orbitalne przyspieszenie kątowe jest szybkością, z jaką trójwymiarowy wektor orbitalnej prędkości kątowej zmienia się w czasie. Chwilowy wektor prędkości kątowej ω {{displaystyle {{boldsymbol {{omega }}}
w dowolnym punkcie czasu jest dany wzorem ω = r × v r 2 {displaystyle {{boldsymbol {{omega }}={frac {{mathbf {{r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
gdzie r {{displaystyle {mathbf {r} }
jest wektorem położenia cząstki, a v {displaystyle \mathbf {v} }
jest jej wektorem prędkości.
Przyspieszenie kątowe orbitalne jest więc wektorem α {displaystyle ™boldsymbol ™alpha }}.
określony wzorem α = d d t ( r × v r 2 ) {displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {d}{dt}}({ {frac {mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}
.
Rozszerzając tę pochodną za pomocą reguły iloczynu i zwykłej reguły ilorazu, otrzymujemy:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {W związku z tym, że w tym przypadku mamy do czynienia z dwoma różnymi sposobami obliczania, nie ma potrzeby, abyśmy się zastanawiali, jak to zrobić. \{{times {{trac {dathbf {v} }}+{{trac {dathbf {r}} )-{{frac {2}{r^{3}}}}{{frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={{frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \mathbf {a} + \mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{frac {2}{r^{3}}{{frac {2}{r^{3}}}{{frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={{frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} {{r^{2}}}-{}rac {2}{r^{3}}}{}{dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}
Skoro r × v {{displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
to tylko r 2 ω {displaystyle r^{2}{boldsymbol {omega }}
, drugi człon można zapisać jako – 2 r d r d t ω {displaystyle -{displayfrac {2}{r}}{{displayfrac {dr}{dt}}{{boldsymbol {{omega }}}
. W przypadku, gdy odległość r {{displaystyle r}}
cząstki od początku nie zmienia się w czasie (co obejmuje ruch po okręgu jako podtyp przypadku), drugi człon znika i powyższy wzór upraszcza się do α = r × a r 2 {displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Z powyższego równania można wyprowadzić przyspieszenie poprzeczne w tym szczególnym przypadku jako:
a ⊥ = α × r {displaysymbol {mathbf {a} _{perp }={frac {mathbf {r} \times \mathbf {r} }
.
Inaczej niż w dwóch wymiarach, przyspieszenie kątowe w trzech wymiarach nie musi być związane ze zmianą prędkości kątowej: jeżeli wektor położenia cząstki „skręca” w przestrzeni w taki sposób, że jej chwilowa płaszczyzna przemieszczenia kątowego (tj. chwilowa płaszczyzna, w której wektor położenia zakreśla kąt) zmienia się w sposób ciągły z czasem, to nawet jeśli prędkość kątowa (tj. prędkość, z jaką wektor położenia zakreśla kąt) jest stała, nadal będzie występować niezerowe przyspieszenie kątowe, ponieważ kierunek wektora prędkości kątowej zmienia się w sposób ciągły z czasem. To nie może się zdarzyć w dwóch wymiarach, ponieważ wektor położenia jest ograniczony do stałej płaszczyzny, tak że każda zmiana prędkości kątowej musi być poprzez zmianę jej wielkości.
Wektor przyspieszenia kątowego jest bardziej poprawnie nazywany pseudowektorem: Ma on trzy składowe, które przekształcają się przy obrocie w taki sam sposób, jak współrzędne kartezjańskie punktu, ale które przy odbiciu nie przekształcają się jak współrzędne kartezjańskie.
Związek z momentem obrotowymEdit
Moment obrotowy netto na cząstce punktowej definiuje się jako pseudowektor
τ = r × F {displaystyle {{boldsymbol {{tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }
,
gdzie F {{displaystyle {boldsymbol {F} }
jest siłą netto działającą na cząstkę.
Moment obrotowy jest obrotowym analogiem siły: wywołuje zmianę stanu obrotowego układu, podobnie jak siła wywołuje zmianę stanu translacyjnego układu. Ponieważ siłę netto działającą na cząstkę można powiązać z przyspieszeniem cząstki równaniem F = m a {{displaystyle {F} =mathbf {a} }
, można mieć nadzieję na skonstruowanie podobnej zależności łączącej moment obrotowy netto na cząstce z przyspieszeniem kątowym tej cząstki. Można to zrobić w następujący sposób:
Najpierw podstawiając F = m a {{displaystyle ™mathbf {F} =mathbf {a} }
do powyższego równania na moment obrotowy, otrzymujemy τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {displaystyle {boldsymbol {tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}})}
.
Ale z poprzedniego rozdziału wynikało, że
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {displayplaystyle {{boldsymbol {{alpha }}={frac {{mathbf {r} \times \mathbf {a} {{r^{2}}}-{{mathbfrac {2}{r}}}{{mathbfrac {dr}{dt}}}{{boldsymbol {omega}}}.
,
gdzie α {{displaystyle {{boldsymbol {{alpha }}}
jest orbitalnym przyspieszeniem kątowym cząstki, a ω {displaystyle {{boldsymbol {{omega}}
jest orbitalną prędkością kątową cząstki. Wynika stąd, że τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . = mr^{2}({{{boldsymbol {{alpha}}+{{frac {2}{r}}{{frac {dr}{dt}}{{boldsymbol {omega }})\\\\&=mr^{2}{ {boldsymbol {alpha }}+2mr {dr}{dt}}{{boldsymbol {omega }}.\end{aligned}}.
W szczególnym przypadku, gdy odległość r {{displaystyle r}}
cząstki od początku nie zmienia się z czasem, drugi człon powyższego równania znika i powyższe równanie upraszcza się do τ = m r 2 α {displaystyle {{boldsymbol {{tau }}=mr^{2}{{boldsymbol {{alpha }}}
,
które można interpretować jako „analog rotacyjny” do F = m a {displaystyle {mathbf {F} =mathbf {a} }
, gdzie wielkość m r 2 {displaystyle mr^{2}}
(zwana momentem bezwładności cząstki) pełni rolę masy m {displaystyle m}
. Jednak w przeciwieństwie do F = m a {displaystyle ™mathbf {F} =mathbf {a} }
, to równanie nie ma zastosowania do dowolnej trajektorii. Podsumowując, ogólna zależność pomiędzy momentem obrotowym a przyspieszeniem kątowym jest z konieczności bardziej skomplikowana niż zależność dla siły i przyspieszenia liniowego.