Reddit – matematyka – Jak wysoko sięga matematyka? I jakie są dziedziny wyższe niż rachunek?
Po Multi-Variable Calculus i Linear Algebra, możesz wziąć sekwencję zwaną Introductory Analysis, która jest o rygorystycznym fundamencie dla Calculus, i która wprowadza język form różniczkowych tak, że twierdzenia rachunku wektorowego mogą być uogólnione na więcej niż trzy wymiary.
Później możesz wziąć zajęcia z Analizy Rzeczywistej, które zaczynają się od Teorii Miar i dotyczą tego, jak można by uogólnić całkowanie dla niezwykłych i pozornie patologicznych funkcji zmiennej rzeczywistej, a Topologia Ogólna przed lub równolegle z tym jest wskazana; może ona również zawierać materiał o przestrzeniach funkcji, które są przedmiotem następnych zajęć.
Po tym, możesz wziąć Analizę Funkcjonalną, która w swojej istocie jest o problemach, które powstają podczas wykonywania algebry liniowej na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach wektorowych; znajomość Analizy Złożonej jest również wskazana, ze względu na coś, co nazywa się teorią spektralną, która mówi ci, kiedy możesz wziąć wyrażenie, które działa dobrze jako funkcja różniczkowalna złożona i zastąpić zmienną operatorem liniowym. (Powinno to obejmować flashback do twierdzenia Cayley-Hamilton z algebry liniowej, gdzie nauczyłeś się, że jeśli rozwiniesz wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej, a następnie zastąpisz zmienną macierzą, otrzymasz macierz zerową.)
Po tym prawdopodobnie wziąłbyś kursy tematyczne w takich rzeczach jak teoria operatorów i teoria C*-algebr, które dodatkowo wymagają zrozumienia Abstract Algebra na poziomie absolwenta; zanim dojdziesz do tego poziomu, dostaniesz się do szkoły dla absolwentów i weźmiesz taką klasę, co jest powszechnym wymogiem na pierwszym roku.
To była tylko jedna próba znalezienia „matematycznej ścieżki naprzód” od Calculusa; są inne:
Rozwój całkowania wielorakiego we Wprowadzeniu do Analizy ma wiele głębokiej geometrycznej substancji, w bardzo podobny sposób, jak Calculus III ma wiele pozornie przypadkowych treści geometrycznych; poprzednia ścieżka była ostatecznie o uogólnieniu pochodnej do funkcji na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach wektorowych, ale ta jest o uogólnieniu jej na rozmaitości, które lokalnie wyglądają jak skończona wielowymiarowa przestrzeń euklidesowa.
Teraz po Calculus III, można uzyskać przebłysk tego z zajęć licencjackich na temat Geometrii Różniczkowej Krzywych i Powierzchni, ale poważne rzeczy, które działają dla bardziej wielowymiarowych kolektywów są na poziomie absolwentów, począwszy od Geometrii Riemannian i kontynuując z Geometrii Semi-Riemannian (właściwie prawie każda klasa na poziomie studiów z „Geometrią” w nazwie, z wyjątkiem złowieszczej „Geometrii Algebraicznej”, jest w tym duchu). Mniej więcej w tym czasie możesz chcieć wziąć Topologię Ogólną i Topologię Różniczkową, ale ta pierwsza i tak będzie wymogiem ogólnym.
Jeżeli znasz Geometrię Semi-Riemannian, możesz chcieć dowiedzieć się więcej konkretnie o Lorentzianach w Ogólnej Teorii Względności; jeśli chodzi o rozkłady Calabi-Yau w teorii superstrun, są one najlepiej rozumiane przez Geometrię Algebraiczną, i jak dowiesz się, gdy będziesz przechodził przez matematykę, wiedza matematyczna sama w sobie nie jest tak silosowa, jak wybór kursu kazałby ci wierzyć.
Jeśli aspekty rozwiązywania problemów z Calculus II są bardziej tym, co cię interesuje, nie ma tu zbyt wiele do tego, chociaż poziom licencjacki Introduction to Differential Equations i Partial Differential Equations zawierają liczne worki z trikami, podobnie jak kilka klas, które nie do końca wynikają z Calculus lub siebie nawzajem, znanych jako Discrete Mathematics i Introduct Number Theory (ten pierwszy jest, między innymi, wprowadzeniem do dwóch niesamowitych i wysoce obliczeniowych obszarów matematyki zwanych Graph Theory i Combinatorics; zawiera również niezłe wprowadzenie do logiki i teorii zbiorów i często służy jako wprowadzenie do pisania dowodów na uniwersytetach).
Istnieją klasy w Równaniach Różniczkowych poza tym poziomem, ale większość z nich jest o tym, jak udowodnić, że równania faktycznie mają rozwiązania i jak by się zachowywały, ale nie tak bardzo o zamkniętych formach lub seriach rozwiązań konkretnych równań (a badanie PDE na wysokim poziomie w zasadzie wymaga Analizy Funkcjonalnej i całej ciężkiej nauki, która przychodzi do tego punktu); istnieje pewna synergia z Analizą Numeryczną, badaniem metod aproksymacji numerycznej, która jest ważniejsza niż mogłoby się wydawać na początku (możesz zmyć regułę punktu środkowego, metodę Newtona i metodę Eulera na początku, ale one działają tam, gdzie nie można znaleźć rozwiązań zamkniętych, a metody numeryczne stają się jeszcze bardziej wyrafinowane).
Z prawdopodobieństwem i statystyką opartą na takich pojęciach jak średnie i obszar, możliwe jest oparcie ich na bardziej wyrafinowanych sformułowaniach z Calculus i Measure Theory; w zasadzie każdy off-ramp w tej pierwszej sekwencji aż do poziomu początkującego absolwenta może być użyty do rozpoczęcia coraz poważniejszych studiów nad statystyką.
Potrzeby Analizy były głównym czynnikiem motywującym teorię zbiorów, i chociaż uczysz się jej na tyle, żeby sobie poradzić (i wciąż ją powtarzać) w innych klasach matematyki opartych na dowodach, to wciąż jest to owocny obszar badań.
Technicznie nie potrzebujesz nawet Calculus lub Linear Algebra, aby nauczyć się Abstract Algebra, ale to pomaga mieć „matematyczną dojrzałość” z klasy Linear Algebra wcześniej.
Algebra abstrakcyjna stoi za Geometrią Algebraiczną (w zasadzie, badanie zbiorów rozwiązań równań wielomianowych w więcej niż jednej zmiennej), Topologią Algebraiczną (badanie algebraicznych niezmienników do klasyfikowania przestrzeni topologicznych) i zaskakującą liczbą rzeczy, które mogą być wspomagane przez obliczenia (jest nawet pakiet oprogramowania tylko dla Algebry Komutatywnej, zwany CoCoA).
To również stoi za Algebraiczną Teorią Liczb, która czerpie z zaskakującej liczby dziedzin matematyki, podobnie jak inna główna gałąź teorii liczb, Analityczna Teoria Liczb (Analiza Złożona jest tu zdecydowanym warunkiem wstępnym); nie zgadłbyś na początku, że prawie cała reszta matematyki musi być wprowadzona do badania liczb naturalnych.
Oh, podobnie jak Analiza była głównym motywatorem dla Teorii Zbiorów, Algebra była głównym motywatorem dla Teorii Kategorii; nie są one jednak całkowicie odrębne, ponieważ grupy i pierścienie są opisane jako „zbiory z…”, i zdecydowanie istnieją kategorialno-teoretyczne spostrzeżenia na temat struktur Analizy.
To nie był nawet szczególnie dokładny rachunek, ale wystarczy powiedzieć, że dziedziny matematyki nie są całkowicie uporządkowane w poziomie trudności lub w jaki sposób uczeń powinien się ich nauczyć; nie są one nawet zorganizowane w drzewo, ale bardziej jak digraf. (Również terminy „całkowicie uporządkowany”, „drzewo” i „digraf” byłyby omówione w Matematyce Dyskretnej.)
Często, kolejność w jakiej student najłatwiej nauczyłby się matematyki jest inna niż logiczna kolejność w jakiej wiedza jest budowana; w szczególności, dedykowane kursy o podstawach matematyki są na poziomie absolwenta, ale przed tym, można pracować tak jakby podstawy były solidne.
Jeszcze, jeśli technika rozwiązywania problemów jest wymagana dla pewnej klasy, klasa powinna być podjęta po klasie, w której technika jest nauczana, dlatego pierwszy kurs w zmiennych zespolonych wymaga co najmniej Calculus III, gdzie całki liniowe są najpierw pokryte.
.