Álgebra inicial
Objectivos de aprendizagem
- Pares encomendados por lote
- Identificar os componentes do plano de coordenadas
- Pares ordenados no plano de coordenadas
- Identificar quadrantes no plano de coordenadas
- Identificar os quatro quadrantes de um plano de coordenadas
- Dar um par ordenado, determinar o seu quadrante
O plano de coordenadas foi desenvolvido há séculos (em 1637, para ser exacto) e refinado pelo matemático francês René Descartes. Em sua homenagem, o sistema é às vezes chamado de sistema de coordenadas cartesianas. O plano de coordenadas pode ser usado para traçar pontos e linhas gráficas. Este sistema permite-nos descrever as relações algébricas num sentido visual, e também nos ajuda a criar e interpretar conceitos algébricos.
Os Componentes do Plano de Coordenadas
Você provavelmente já usou um plano de coordenadas antes. Por exemplo, você já usou um grid overlay para mapear a posição de um objeto? (Isto é frequentemente feito com mapas de estrada, também.)
Este “mapa” usa uma grelha horizontal e vertical para transmitir informações sobre a localização de um objecto. Note que as letras A-F são listadas ao longo do topo, e os números 1-6 são listados ao longo da margem esquerda. A localização geral de qualquer item neste mapa pode ser encontrada usando a letra e o número do quadrado da sua grade. Por exemplo, você pode encontrar o item que existe no quadrado “4F” movendo o seu dedo ao longo da horizontal para a letra F e depois para baixo de modo a estar em linha com o 4. Você encontrará um disco azul neste local no mapa.
O plano de coordenadas tem elementos semelhantes à grelha mostrada acima. É composto por um eixo horizontal e um eixo vertical, linhas numéricas que se intersectam em ângulos rectos. (São perpendiculares entre si.)
O eixo horizontal no plano de coordenadas é chamado eixo x. O eixo vertical é chamado de eixo y. O ponto em que os dois eixos se intersectam é chamado de origem. A origem está em 0 no eixo x e 0 no eixo y.
Localizações no plano de coordenadas são descritas como pares ordenados. Um par ordenado diz-lhe a localização de um ponto relacionando a localização do ponto ao longo do eixo x (o primeiro valor do par ordenado) e ao longo do eixo y (o segundo valor do par ordenado).
Num par ordenado, tal como (x, y), o primeiro valor é chamado de coordenada x e o segundo valor é a coordenada y. Note que a coordenada x é listada antes da coordenada y. Como a origem tem uma coordenada x de 0 e uma coordenada y de 0, o seu par ordenado é escrito (0, 0).
Considere o ponto abaixo.
Para identificar a localização deste ponto, comece na origem (0, 0) e mova-se ao longo do eixo x até estar abaixo do ponto. Olhe para a etiqueta no eixo x. O 4 indica que, desde a origem, você viajou quatro unidades para a direita ao longo do eixo x. Esta é a coordenada x, o primeiro número no par ordenado.
A partir do 4 no eixo x, vá até ao ponto e observe o número com o qual se alinha no eixo y. O 3 indica que, após sair do eixo x, viajou 3 unidades para cima no sentido vertical, a direcção do eixo y. Este número é a coordenada y, o segundo número do par ordenado. Com uma coordenada x de 4 e uma y de 3, tem o par ordenado (4, 3).
Vejamos outro exemplo.
Exemplo
Descreva o ponto apresentado como par ordenado.
Descreva o ponto mostrado como par ordenado
Pontos de Plotting no Plano de Coordenadas
Agora você saiba como usar os eixos x e y, você pode plotar um par ordenado também. Lembre-se, ambos os processos começam na origem – o início! O exemplo que se segue mostra como fazer o gráfico do par ordenado (1,3).
Exemplo
Plotar o ponto (1, 3).
No exemplo anterior, ambas as coordenadas x e y eram positivas. Quando uma (ou ambas) das coordenadas de um par ordenado for negativa, você precisará se mover na direção negativa ao longo de um ou ambos os eixos. Considere o exemplo abaixo no qual ambas as coordenadas são negativas.
Exemplo
Plotar o ponto (-4,-2).
A coordenada x é -4 porque vem em primeiro lugar no par ordenado. Comece na origem e mova 4 unidades em sentido negativo (esquerda) ao longo do eixo x.
A coordenada y é -2 porque vem em segundo lugar no par ordenado. Agora mova 2 unidades em sentido negativo (para baixo). Se você olhar para o eixo y, você deve estar alinhado com -2 nesse eixo.
Os passos para plotar um ponto estão resumidos abaixo.
Passos para plotar um par ordenado (x, y) no Plano de Coordenadas
- Determinar a coordenada x. A partir da origem, mover horizontalmente, a direção do eixo x, a distância dada pela coordenada x. Se a coordenada x for positiva, mover-se para a direita; se a coordenada x for negativa, mover-se para a esquerda.
- Determinar a coordenada y. Começando pela coordenada x, mover-se verticalmente, a direção do eixo y, a distância dada pela coordenada y. Se a coordenada y for positiva, mover-se para cima; se a coordenada y for negativa, mover-se para baixo.
- Determinar um ponto no local final. Etiquete o ponto com o par ordenado.
Pontos de traçado no plano de coordenadas
Identifique quadrantes e use-os para traçar pontos
Os eixos x- e y de intersecção do plano de coordenadas dividem-no em quatro secções. Estas quatro secções são chamadas quadrantes. Os quadrantes são nomeados usando os numerais romanos I, II, III e IV, começando com o quadrante superior direito e movendo-se no sentido anti-horário.
Pares ordenados dentro de qualquer quadrante em particular compartilham certas características. Olhe para cada quadrante no gráfico abaixo. O que você observa sobre os sinais das coordenadas x e y dos pontos dentro de cada quadrante?
Em cada quadrante, os sinais das coordenadas x e y dos pontos dentro de cada par ordenado são os mesmos. Elas também seguem um padrão, que está delineado na tabela abaixo.
| Quadrante | Forma Geral do Ponto neste Quadrante | Exemplo | Descrição | |
|---|---|---|---|---|
| I | (+,+) | (5,4) | A partir da origem, siga ao longo do eixo x na direcção positiva (direita) e ao longo do eixo y na direcção positiva (para cima). | |
| II | (-,+) | (-5,4) | Arrancar desde a origem, seguir no sentido negativo (esquerda) ao longo do eixo x e no sentido positivo (para cima) ao longo do eixo y. | |
| III | (-,-) | (-5,-4) | Partindo da origem, siga no sentido negativo (esquerda) ao longo do eixo x e no sentido negativo (para baixo) ao longo do eixo y. | |
| >IV | (+,-) | (5,-4) | Arrancar desde a origem, seguir no sentido positivo (direita) ao longo do eixo x e no sentido negativo (para baixo) ao longo do eixo y. |
Após conhecer os quadrantes no plano de coordenadas, pode determinar o quadrante de um par ordenado sem sequer o representar graficamente, olhando para o gráfico acima. Aqui está outra maneira de pensar sobre isso.
O exemplo abaixo detalha como determinar a localização do quadrante de um ponto apenas pensando sobre os sinais das suas coordenadas. Pensar sobre a localização do quadrante antes de traçar um ponto pode ajudá-lo a evitar um erro. É também um conhecimento útil para verificar se você traçou um ponto corretamente.
Exemplo
Em que quadrante está o ponto (-7,10) localizado?
Exemplo
Em que quadrante está o ponto (-10,-5) localizado?
O que acontece se um par ordenado tiver uma coordenada x ou y de zero? O exemplo abaixo mostra o gráfico do par ordenado (0,4).
Um ponto localizado num dos eixos não é considerado como estando num quadrante. Está simplesmente em um dos eixos. Sempre que a coordenada x for 0, o ponto está localizado no eixo y. Da mesma forma, qualquer ponto que tenha uma coordenada y de 0 estará localizado no eixo x.
Identificar quadrantes e utilizá-los para traçar pontos
Sumário
O plano de coordenadas é um sistema para traçar gráficos e descrever pontos e linhas. O plano de coordenadas é composto por um eixo horizontal (x-) e um eixo vertical (y-). A intersecção destas rectas cria a origem, que é o ponto (0,0). O plano de coordenadas é dividido em quatro quadrantes. Juntas, estas características do sistema de coordenadas permitem a representação gráfica e a comunicação sobre pontos, linhas e outros conceitos algébricos.