A resposta para a vida, o universo e tudo
Uma equipa liderada por Andrew Sutherland do MIT e Andrew Booker da Universidade de Bristol resolveu a peça final de um famoso puzzle matemático de 65 anos com uma resposta para o número mais elusivo de todos: 42.
O número 42 é especialmente significativo para os fãs do romancista de ficção científica Douglas Adams “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy”, porque esse número é a resposta dada por um supercomputador à “The Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything”.
Booker também queria saber a resposta ao 42. Ou seja, existem três cubos cuja soma é 42?
Esta soma de três cubos de quebra-cabeças, primeiro conjunto em 1954 na Universidade de Cambridge e conhecido como a Equação Diofantina x3+y3+z3=k, desafiou os matemáticos a encontrar soluções para os números 1-100. Com números menores, este tipo de equação é mais fácil de resolver: por exemplo, 29 poderia ser escrito como 33 + 13 + 13, enquanto 32 é insolúvel. Todas foram eventualmente resolvidas, ou provaram ser insolúveis, usando várias técnicas e supercomputadores, com exceção de dois números: 33 e 42.
Booker concebeu um algoritmo engenhoso e passou semanas no supercomputador da sua universidade, quando ele recentemente descobriu uma solução para 33. Mas quando ele se virou para resolver para 42, Booker descobriu que a computação necessária era uma ordem de magnitude maior e poderia estar além da capacidade do seu supercomputador. Booker diz ter recebido muitas ofertas de ajuda para encontrar a resposta, mas em vez disso recorreu ao seu amigo Andrew “Drew” Sutherland, um dos principais cientistas de pesquisa do Departamento de Matemática. “Ele é um especialista mundial nesse tipo de coisa”, diz Booker.
Sutherland, cuja especialidade inclui cálculos paralelos massivos, bateu o recorde em 2017 para o maior cluster de Motores de Computação, com 580.000 núcleos em Máquinas Virtuais Preensíveis, o maior cluster de computação de alto desempenho conhecido para rodar na nuvem pública.
Como outros teóricos de números computacionais que trabalham em geometria aritmética, ele estava ciente do problema da “soma de três cubos”. E os dois já haviam trabalhado juntos antes, ajudando a construir o L-functions and Modular Forms Database (LMFDB), um atlas online de objetos matemáticos relacionados ao que é conhecido como o Programa Langlands. “Fiquei emocionado quando Andy me pediu para me juntar a ele neste projeto”, diz Sutherland.
Booker e Sutherland discutiram a estratégia algorítmica a ser usada na busca de uma solução para 42. Como Booker encontrou com sua solução para 33, eles sabiam que não precisavam recorrer a todas as possibilidades para x, y e z.
“Há um único parâmetro inteiro, d, que determina um conjunto relativamente pequeno de possibilidades para x, y e z, de tal forma que o valor absoluto de z está abaixo de um limite de busca escolhido B”, diz Sutherland. “Um então enumera valores para d e verifica cada um dos possíveis x, y, z associados a d. Na tentativa de quebrar 33, o limite de busca B era 1016, mas este B acabou sendo muito pequeno para quebrar 42; em vez disso usamos B = 1017 (1017 é 100 milhões).
Outrossim, a principal diferença entre a busca por 33 e a busca por 42 seria o tamanho da busca e a plataforma de computador usada. Graças a uma generosa oferta da Charity Engine sediada no Reino Unido, Booker e Sutherland conseguiram aproveitar a potência computacional de mais de 400.000 PCs domésticos de voluntários, em todo o mundo, a cada um dos quais foi atribuída uma gama de valores para d. O cálculo em cada PC roda em segundo plano para que o proprietário ainda possa usar seu PC para outras tarefas.
Sutherland também é fã de Douglas Adams, por isso o projeto foi irresistível.
O método de usar o Charity Engine é semelhante a parte do enredo em torno do número 42 no romance “Hitchhiker”: Após a resposta do Pensamento Profundo do 42 se mostrar insatisfatória para os cientistas, que não conhecem a pergunta que se pretende responder, o supercomputador decide computar a Pergunta Suprema construindo um supercomputador alimentado pela Terra … em outras palavras, empregando uma plataforma de computação maciçamente paralela em todo o mundo.
“Esta é outra razão pela qual eu realmente gostei de executar este cálculo no Charity Engine – nós realmente usamos um computador em escala planetária para resolver uma pergunta aberta de longa data, cuja resposta é 42.”
Eles executaram um número de cálculos com menor capacidade para testar tanto o seu código como a rede Charity Engine. Eles então usaram uma série de otimizações e adaptações para tornar o código mais adequado para um cálculo massivamente distribuído, comparado a um cálculo executado em um único supercomputador, diz Sutherland.
Por que o supercomputador de Bristol não poderia resolver este problema?
“Bem, qualquer computador *pode* resolver o problema, desde que você esteja disposto a esperar tempo suficiente, mas com cerca de meio milhão de PCs trabalhando no problema em paralelo (cada um com vários núcleos), fomos capazes de completar o cálculo muito mais rapidamente do que poderíamos ter usado a máquina Bristol (ou qualquer uma das máquinas aqui no MIT)”, diz Sutherland.
Usar a rede do Charity Engine também é mais eficiente em termos energéticos. “Na maior parte das vezes, estamos usando recursos computacionais que de outra forma seriam desperdiçados”, diz Sutherland. “Quando você está sentado em seu computador lendo um e-mail ou trabalhando em uma planilha, você está usando apenas uma pequena fração do recurso CPU disponível, e o aplicativo Charity Engine, que é baseado no Berkeley Open Infrastructure for Network Computing (BOINC), tira proveito disso. Como resultado, a pegada de carbono desse cálculo – relacionada à eletricidade que nossos cálculos fizeram com que os PCs da rede usassem acima e além do que eles teriam usado, em qualquer caso – é menor do que seria se tivéssemos usado um supercomputador”
Sutherland e Booker executaram os cálculos durante vários meses, mas a execução final bem-sucedida foi concluída em apenas algumas semanas. Quando o e-mail da Charity Engine chegou, ele forneceu a primeira solução para x3+y3+z3=42:
42 = (-8053873881812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
“Quando ouvi a notícia, foi definitivamente um momento de primeira bomba”, diz Sutherland. “Com estes cálculos em grande escala você derrama muito tempo e energia na otimização da implementação, ajustando os parâmetros e depois testando e re-testando o código durante semanas e meses, nunca sabendo realmente se todo o esforço vai valer a pena, então é extremamente satisfatório quando o faz.”
Booker e Sutherland dizem que há mais 10 números, de 101-1000, que faltam para serem resolvidos, com o próximo número sendo 114.
Mas ambos estão mais interessados num puzzle mais simples mas computacionalmente mais desafiante: se há mais respostas para a soma de três cubos para 3.
“Há quatro soluções muito fáceis que eram conhecidas pelo matemático Louis J. Mordell, que escreveu em 1953, ‘Eu não sei nada sobre as soluções inteiras de x3 + y3 + z3 = 3 além da existência dos quatro triplos (1, 1, 1), (4, 4, 4, -5), (4, -5, 4), (-5, 4, 4); e deve ser muito difícil descobrir alguma coisa sobre qualquer outra solução’. Esta citação motivou muito o interesse no problema da soma de três cubos, e o caso k=3 em particular. Embora se conjecture que deveria haver infinitas soluções, apesar de mais de 65 anos de busca, conhecemos apenas as soluções fáceis que já eram conhecidas por Mordell. Seria muito emocionante encontrar outra solução para k=3”