Algebră pentru începători

Algebră pentru începători

Planul de coordonate a fost dezvoltat cu secole în urmă (mai exact, în 1637) și perfecționat de matematicianul francez René Descartes. În onoarea sa, sistemul este numit uneori sistemul de coordonate carteziene. Planul de coordonate poate fi utilizat pentru a trasa puncte și pentru a reprezenta grafic linii. Acest sistem ne permite să descriem relațiile algebrice într-un sens vizual și, de asemenea, ne ajută să creăm și să interpretăm concepte algebrice.

Componentele planului de coordonate

Probabil că ați mai folosit un plan de coordonate. De exemplu, ați folosit vreodată o suprapunere în grilă pentru a cartografia poziția unui obiect? (Acest lucru se face adesea și cu hărțile rutiere.)

Această „hartă” utilizează o grilă orizontală și verticală pentru a transmite informații despre poziția unui obiect. Observați că literele A-F sunt listate de-a lungul părții superioare, iar numerele 1-6 sunt listate de-a lungul marginii stângi. Locația generală a oricărui obiect de pe această hartă poate fi găsită folosind litera și numărul pătratului din grila sa. De exemplu, puteți găsi elementul care există la pătratul „4F” mișcându-vă degetul de-a lungul orizontalei până la litera F și apoi direct în jos, astfel încât să fiți în linie cu cifra 4. Veți găsi un disc albastru care se află în această locație pe hartă.

Planul de coordonate are elemente similare cu grila prezentată mai sus. El este format dintr-o axă orizontală și o axă verticală, linii numerice care se intersectează în unghiuri drepte. (Ele sunt perpendiculare una pe cealaltă.)

Axa orizontală din planul de coordonate se numește axa x. Axa verticală se numește axa y. Punctul în care cele două axe se intersectează se numește origine. Originea se află la 0 pe axa x și la 0 pe axa y.

Localizările din planul de coordonate sunt descrise ca perechi ordonate. O pereche ordonată vă spune locația unui punct prin raportarea locației punctului de-a lungul axei x (prima valoare a perechii ordonate) și de-a lungul axei y (a doua valoare a perechii ordonate).

Într-o pereche ordonată, cum ar fi (x, y), prima valoare se numește coordonată x și a doua valoare este coordonată y. Rețineți că coordonata x este listată înaintea coordonatei y. Deoarece originea are o coordonată x de 0 și o coordonată y de 0, perechea sa ordonată se scrie (0, 0).

Considerați punctul de mai jos.

Pentru a identifica locația acestui punct, începeți de la originea (0, 0) și deplasați-vă spre dreapta de-a lungul axei x până când vă aflați sub punct. Uitați-vă la eticheta de pe axa x. Cifra 4 indică faptul că, de la origine, v-ați deplasat patru unități spre dreapta de-a lungul axei x. Aceasta este coordonata x, primul număr din perechea ordonată.

De la 4 de pe axa x deplasați-vă până la punct și observați numărul cu care se aliniază pe axa y. Cifra 3 indică faptul că, după ce ați părăsit axa x, ați călătorit 3 unități în sus pe verticală, direcția axei y. Acest număr este coordonata y, al doilea număr din perechea ordonată. Cu o coordonată x de 4 și o coordonată y de 3, aveți perechea ordonată (4, 3).

Să ne uităm la un alt exemplu.

Descrieți punctul reprezentat ca o pereche ordonată

Scrierea punctelor în planul de coordonate

Acum că știți cum să folosiți axele x și y, puteți să reprezentați și o pereche ordonată. Rețineți doar că ambele procese încep de la origine – începutul! Exemplul care urmează arată cum să se reprezinte grafic perechea ordonată (1,3).

În exemplul anterior, atât coordonatele x cât și y erau pozitive. Atunci când una (sau ambele) dintre coordonatele unei perechi ordonate este negativă, va trebui să vă deplasați în direcția negativă de-a lungul uneia sau ambelor axe. Luați în considerare exemplul de mai jos, în care ambele coordonate sunt negative.

Etapele de trasare a unui punct sunt rezumate mai jos.

Încadrarea punctelor pe planul de coordonate

Identificați cadranele și folosiți-le pentru a trasa puncte

Axele x și y care se intersectează în planul de coordonate îl împart în patru secțiuni. Aceste patru secțiuni se numesc cadrane. Cadranele sunt denumite folosind cifrele romane I, II, III și IV, începând cu cadranul din dreapta sus și mergând în sens invers acelor de ceasornic.

Perechile ordonate din cadrul unui anumit cadran au în comun anumite caracteristici. Priviți fiecare cadran din graficul de mai jos. Ce observați cu privire la semnele coordonatelor x și y ale punctelor din fiecare cadran?

În cadrul fiecărui cadran, semnele coordonatelor x și y ale fiecărei perechi ordonate sunt aceleași. De asemenea, ele urmează un model, care este prezentat în tabelul de mai jos.

Cadrant	Forma generală a punctului din acest cadran	Exemplu	Descriere
I	(+,+)	(5,4)	Începând de la origine, mergeți de-a lungul axei x în sens pozitiv (dreapta) și de-a lungul axei y în sens pozitiv (sus).
II	(-,+)	(-5,4)	Începând de la origine, mergeți de-a lungul axei x în sens negativ (stânga) și de-a lungul axei y în sens pozitiv (sus).
III	(-,-)	(-5,-4)	Începând de la origine, mergeți de-a lungul axei x într-o direcție negativă (stânga) și de-a lungul axei y într-o direcție negativă (jos).
IV	(+,-)	(5,-4)	Începând de la origine, mergeți de-a lungul axei x într-o direcție pozitivă (dreapta) și de-a lungul axei y într-o direcție negativă (jos).

După ce știți despre cadranele din planul de coordonate, puteți determina cadranul unei perechi ordonate fără măcar să o reprezentați grafic, uitându-vă la tabelul de mai sus. Iată un alt mod de a vă gândi la acest lucru.

Exemplul de mai jos detaliază modul în care puteți determina locația în cadran a unui punct doar gândindu-vă la semnele coordonatelor sale. Gândindu-vă la locația cuadrantului înainte de a trasa un punct vă poate ajuta să evitați o greșeală. Este, de asemenea, o cunoaștere utilă pentru a verifica dacă ați trasat corect un punct.

Ce se întâmplă dacă o pereche ordonată are o coordonată x sau y egală cu zero? Exemplul de mai jos prezintă graficul perechii ordonate (0,4).

Un punct situat pe una dintre axe nu este considerat a fi într-un cadran. El se află pur și simplu pe una dintre axe. Ori de câte ori coordonata x este 0, punctul este situat pe axa y. În mod similar, orice punct care are o coordonată y egală cu 0 va fi situat pe axa x.

Identificați cadranele și folosiți-le pentru a trasa puncte

Rezumat

Planul de coordonate este un sistem pentru reprezentarea grafică și descrierea punctelor și liniilor. Planul de coordonate este alcătuit dintr-o axă orizontală (x-) și o axă verticală (y-). Intersecția acestor linii creează originea, care este punctul (0,0). Planul de coordonate este împărțit în patru cadrane. Împreună, aceste caracteristici ale sistemului de coordonate permit reprezentarea grafică și comunicarea despre puncte, drepte și alte concepte algebrice.