Hiperbolă

Hiperbolă

Știați că orbita unei nave spațiale poate fi uneori o hiperbolă?

O navă spațială poate folosi gravitația unei planete pentru a-și modifica traiectoria și a o propulsa cu viteză mare departe de planetă și înapoi în spațiu, folosind o tehnică numită „praștie gravitațională”.

Dacă acest lucru se întâmplă, atunci traiectoria navei spațiale este o hiperbolă.

(Joacă-te cu asta la Gravity Freeplay)

Definiție

O hiperbolă este formată din două curbe care sunt ca niște arcuri infinite.

Urmărind doar una dintre curbe:

orice punct P este mai aproape de F decât de G cu o anumită cantitate constantă

Celealaltă curbă este o imagine în oglindă, și este mai aproape de G decât de F.

Cu alte cuvinte, distanța de la P la F este întotdeauna mai mică decât distanța P la G cu o anumită cantitate constantă. (Iar pentru cealaltă curbă, P până la G este întotdeauna mai mică decât P până la F cu acea cantitate constantă.)

Care arc se numește ramură, iar F și G se numesc fiecare focar.

Încearcă și tu:

Încearcă să muți punctul P: ce observi la lungimile PF și PG ?

Încearcă și tu să pui punctul P pe cealaltă ramură.

Există și alte lucruri interesante:

Pe diagramă puteți observa:

• o axă de simetrie (care trece prin fiecare focar)
• două vârfuri (unde fiecare curbă își face virajul cel mai ascuțit)
• distanța dintre vârfuri (2a pe diagramă) este constanta diferența constantă dintre lungimile PF și PG
• două asimptote care nu fac parte din hiperbolă, dar arată unde ar merge curba dacă ar continua la nesfârșit în fiecare dintre cele patru direcții

Și, strict vorbind, există, de asemenea, o altă axă de simetrie care trece prin mijloc și separă cele două ramuri ale hiperbolei.

Secțiune conică Se poate obține o hiperbolă și atunci când se taie un con dublu. Tăietura trebuie să fie mai abruptă decât cea pentru o parabolă, dar nu trebuie să fie paralelă cu axa conului pentru ca hiperbola să fie simetrică. Atunci hiperbola este o secțiune conică (o secțiune a unui con).

Ecuația

Potrivind o hiperbolă pe un grafic x-y (centrat pe axa x și pe axa y), ecuația curbei este:

x2a2 – y2b2 = 1

De asemenea:

Un vârf este la (a, 0), iar celălalt este la (-a, 0)

Asimptotele sunt dreptele:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Notă: ecuația este similară cu ecuația elipsei: x2/a2 + y2/b2 = 1, cu excepția faptului că există un „-” în loc de „+”)

Eccentricitate

Oricărei ramuri a unei hiperbole i se poate defini, de asemenea, ca o curbă în care distanțele oricărui punct față de:

• un punct fix (focarul) și
• o dreaptă fixă (orientara)sunt întotdeauna în același raport.

Acest raport se numește excentricitate, iar pentru o hiperbolă este întotdeauna mai mare decât 1.

Excentricitatea (reprezentată de obicei prin litera e) arată cât de „necurbată” (variind de la a fi un cerc) este hiperbola.

În această diagramă:

• P este un punct de pe curbă,
• F este focarul și
• N este punctul de pe axa directoare astfel încât PN să fie perpendicular pe axa directoare.

Excentricitatea este raportul PF/PN și are formula:

e = √(a2+b2)a

Utilizând „a” și „b” din diagrama de mai sus.

Latus Rectum

Latus Rectum este linia care trece prin focar și este paralelă cu directorița. Lungimea Latus Rectum este 2b2/a.

1/x

Funcția reciprocă y = 1/x este o hiperbolă!

.