Sir Michael Atiyah obituary
De laatste keer dat ik Michael Atiyah ontmoette, die op 89-jarige leeftijd is overleden, was in het Tate Modern in Londen; niet de meest waarschijnlijke plaats om waarschijnlijk de grootste wiskundige van Groot-Brittannië sinds Isaac Newton tegen het lijf te lopen, maar geheel in overeenstemming met zijn brede enthousiasme voor zijn onderwerp. Het was juni 2012, en ik voegde me bij hem en de flamboyante Franse wiskundige Cédric Villani in een paneldiscussie: Mathematics, a Beautiful Elders. De titel zegt het al.
We hebben zwavelzuur te danken aan Atiyahs besluit om wiskundige te worden. Begin 1940, toen Groot-Brittannië en Frankrijk vochten om zijn vaderland Libanon, stuurden zijn ouders hem naar het Victoria college in Cairo. In een interview in 1984 zei hij dat hij daar erg geïnteresseerd raakte in scheikunde, maar uiteindelijk besloot dat het maken van “zwavelzuur en al dat soort dingen” niets voor hem was: “Lijsten met feiten, alleen maar feiten…” Vanaf dat moment werd wiskunde zijn passie. “Ik heb nooit serieus overwogen om iets anders te gaan doen.” Atiyah’s werk zou een diepgaande invloed hebben op de wiskunde van vandaag.
Atiyah was een geometer, in de zin van visueel denken gekoppeld aan abstract symbolisme, een nieuwe houding die de wiskunde in het midden van de 20e eeuw overspoelde. Je dacht erover als meetkunde, maar schreef erover als algebra, en dan nog zeer esoterische algebra. Zijn onderzoek valt uiteen in vier hoofdperioden, die elkaar tot op zekere hoogte overlappen – in de jaren ’50 de algebraïsche meetkunde; in de jaren ’60 en begin jaren ’70 de K-theorie; van de jaren ’60 tot ’80 de indextheorie; en eind jaren ’70 tot midden jaren ’80 de ijkingstheorie, waarin zijn ideeën zeer invloedrijk werden in de kwantumfysica.
Algebraïsche meetkunde ontwikkelde zich oorspronkelijk uit een diep verband tussen meetkunde en algebra dat in de jaren 1600 door René Descartes werd gepropageerd. Men begint met het vlak van Euclides en introduceert coördinaten – paren getallen die de plaats van een punt beschrijven, ongeveer zoals breedtegraad en lengtegraad een punt op het aardoppervlak bepalen. Geometrische eigenschappen van krommen kunnen dan worden beschreven door algebraïsche vergelijkingen, zodat vragen in de meetkunde kunnen worden aangepakt met algebra, en vice versa.
In de late jaren 1800 en vroege jaren 1900 verscheen er een nieuwkomer op het wiskundige blok: topologie, waarin geometrische vormen kunnen worden vervormd alsof ze van elastiek zijn gemaakt. Klassieke kenmerken zoals lengtes en hoeken verliezen hun betekenis, en worden vervangen door begrippen zoals verbonden zijn, geknoopt zijn, of een gat hebben zoals een donut.
Topologie bleek fundamenteel te zijn voor vele gebieden van de wiskunde. Er werden technieken bedacht om aan een topologische ruimte verschillende “invarianten” te koppelen, die onthullen wanneer ruimten al dan niet in elkaar kunnen worden vervormd.
Een van de krachtigste invarianten, homologie, werd vastgesteld door Emmy Noether, de grootste vrouwelijke wiskundige van het einde van de negentiende en het begin van de negentiende eeuw. Zij herinterpreteerde, in termen van abstracte algebra, rudimentaire methoden voor het tellen van kenmerken zoals het aantal gaten in een oppervlak.
In feite legde Noether uit dat we niet alleen gaten en bijbehorende structuren kunnen tellen, maar ons ook kunnen afvragen hoe ze combineren, en topologische informatie uit het antwoord kunnen halen.
Atiyah begon zijn onderzoekscarrière in de algebraïsche meetkunde, maar onder invloed van zijn promotor, William Hodge, in Cambridge, stapte hij al snel over naar een aangrenzend gebied, de differentiaalmeetkunde, die concepten als kromming bestudeert – hoe een ruimte afwijkt van het platte vlak van Euclides. Daar maakte hij grote vorderingen in de interacties tussen algebraïsche meetkunde, differentiaalmeetkunde en topologie.
Euclides’ onderzoek van een cirkel omvat de raaklijnen: rechte lijnen die de cirkel op één punt raken, zoals een weg die een fietswiel ondersteunt. Op dezelfde manier heeft een bol een familie van raakvlakken, één voor elk punt op zijn oppervlak. Een algemene familie van deze aard heet een vectorbundel: “bundel” omdat de bol alle vlakken aan elkaar bindt, en “vector” omdat hoger-dimensionale analogieën van lijnen en vlakken vectorruimten worden genoemd.
De topologie van een vectorbundel geeft informatie over de onderliggende ruimte. De raaklijnen aan een cirkel, bijvoorbeeld, vormen een cilinder. Als bewijs: draai elke raaklijn over een rechte hoek, uit het vlak van de cirkel, en je krijgt een cilinder. Er is nog een andere vectorbundel die bij een cirkel hoort, waarbij de lijnen verdraaid zijn om de beroemde Möbiusband te vormen, een oppervlak dat topologisch verschilt van een cilinder omdat het maar één zijde heeft. Atiyah paste deze ideeën toe op “elliptische krommen”, eigenlijk donutvormige oppervlakken met interessante getaltheoretische eigenschappen.
Zijn volgende onderwerp, K-theorie, is een verregaande uitbreiding van Noethers homologie invariant. Een cilinder en een Möbiusband zijn topologisch verschillend omdat hun geassocieerde bundels verschillende verdraaiingen hebben. K-theorie maakt gebruik van vector bundels om hoger dimensionale analogieën van dergelijke verdraaiingen vast te leggen.
Het onderwerp onderging een periode van snelle ontwikkeling in de jaren ’60, gestimuleerd door opmerkelijke verbanden met andere belangrijke gebieden van de wiskunde, en het verschafte topologen een krachtige gereedschapskist van invarianten.
Atiyah, vaak samen met andere vooraanstaande wiskundigen, was een drijvende kracht achter deze ontwikkelingen. Belangrijke thema’s waren de cobordismetheorie van René Thom (hoe een cirkel zich in tweeën splitst als je in een broek van de taille naar de beengaten gaat, alleen gedaan voor meerdimensionale ruimten) en de periodiciteitstheorie, voor het eerst bewezen door Raoul Bott, die aantoont dat hogere K-groepen zich herhalen in een cyclus van lengte acht.
Indexentheorie vindt zijn oorsprong in de waarneming dat topologische kenmerken van een landschap, zoals het aantal bergtoppen, valleien en bergpassen, met elkaar in verband staan. Om bijvoorbeeld een piek weg te werken door hem af te vlakken, moet je ook een pas wegwerken. De index ordent dergelijke verschijnselen, en kan in geschikte omstandigheden worden gebruikt om te bewijzen dat een piek in een bepaald gebied moet bestaan.
Een landschap is een metafoor voor de grafiek van een wiskundige functie, en een verregaande veralgemening relateert het aantal oplossingen van een differentiaalvergelijking aan een meer esoterische topologische index.
Differentiaalvergelijkingen relateren veranderingssnelheden van verschillende grootheden aan elkaar, en zijn alomtegenwoordig in de mathematische fysica; de Atiyah-Singer Index Stelling, gezamenlijk bewezen met de Amerikaanse wiskundige Isadore Singer in 1963, onthult een zeer significant verband tussen een topologische index en de oplossingen van een differentiaalvergelijking.
In een geschikte wiskundige setting kan dit leiden tot een bewijs dat een oplossing moet bestaan, dus de Atiyah-Singer index heeft wijdverbreide toepassingen in de fysica. Veertig jaar na hun ontdekking kreeg het tweetal in 2004 gezamenlijk de Abelprijs van de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren.
De ijkingstheorie is in de natuurkunde ontstaan door bepaalde symmetrieën van kwantumvelden en -deeltjes te formaliseren. Het eerste voorbeeld kwam voort uit de vergelijkingen van James Clerk Maxwell voor het elektromagnetische veld (1861), waarbij bepaalde wiskundige transformaties kunnen worden toegepast zonder de fysica te veranderen.
In 1954 breidden Chen Ning Yang en Robert Mills dit idee uit tot de sterke wisselwerking, die elk kwantumdeeltje in de atoomkern bij elkaar houdt. Symmetrie bleek van vitaal belang te zijn voor de kwantummechanica – het onlangs ontdekte Higgs boson bijvoorbeeld, dat deeltjes massa geeft, werkt door bepaalde symmetrieën te breken – en ijksymmetrieën zijn enorm belangrijk.
Atiyah droeg sleutelideeën bij aan hun wiskunde, en gebruikte zijn indextheorie om instantonen (deeltjes die met een knipoog ontstaan en onmiddellijk weer verdwijnen) en magnetische monopolen (deeltjes zoals een magnetische noordpool zonder overeenkomstige zuidpool) te bestuderen.
In 1983 gebruikte zijn promovendus Simon Donaldson deze ideeën om een opmerkelijke stelling te bewijzen: in tegenstelling tot wat bijna alle topologen verwachtten, heeft de vierdimensionale ruimte oneindig veel verschillende differentieerbare structuren – in dit opzicht volkomen verschillend van elke andere dimensie. De bredere context voor al dit werk is de superstringtheorie, een vermeende eenwording van de kwantumtheorie en de relativiteit van Albert Einstein.
Atiyah werd geboren in Londen als een van de vier kinderen van Edward, een Libanese ambtenaar, en zijn vrouw, Jean (geboren Levens), die in Yorkshire van Schotse afkomst was geboren. Het gezin verhuisde naar Khartoem, Soedan, waar Michael naar school ging voordat hij naar het Victoria College in Cairo ging en vervolgens op zijn 16e naar de Manchester Grammar School om zich voor te bereiden op Cambridge. Hij was altijd al gek op wiskunde. Een inspirerende leraar liet hem kennismaken met projectieve meetkunde en de quaternionalgebra van William Rowan Hamilton, en hij las over getaltheorie en groepentheorie – allemaal zaken die duidelijk van invloed waren op zijn latere wiskundige interesses.
In 1949, na twee jaar nationale dienst, studeerde hij aan het Trinity College in Cambridge, waar hij bleef voor zijn doctoraat. Hij bekleedde functies aan het Institute for Advanced Study in Princeton (waaronder een hoogleraarschap 1969-72), en in Cambridge en Oxford, waar hij Savilian professor in de meetkunde 1963-69 en Royal Society research professor 1973-90 was. In 1962 werd hij lid van de Royal Society, waarvan hij van 1990 tot 1995 voorzitter was. In 1966 won hij een Fields medaille, de hoogste onderscheiding voor een wiskundige.
In 1990 werd hij meester van Trinity College, Cambridge, en directeur van het Isaac Newton Instituut voor Mathematische Wetenschappen, Cambridge. In 1983 werd hij geridderd en in 1992 werd hij benoemd tot lid in de Orde van Verdienste. Na zijn pensionering van Trinity in 1997 verhuisde hij met zijn vrouw, Lily (geboren Brown), met wie hij was getrouwd in 1955, naar Edinburgh.
Atiyah was altijd een groot voorstander van publieke betrokkenheid, het geven van populaire lezingen over de schoonheid van de wiskunde en zijn levenslange passie voor het onderwerp. Klein en compact, met een rustige, precieze voordracht, kon hij niettemin een publiek geboeid houden. Zo herinner ik me hem, op die dag in Tate Modern, toen hij niet-mathematici vertelde waarom we het doen, waartoe het dient, en hoe het voelt.
Hij en Lily hadden drie zonen: John, David en Robin. John stierf bij een klimongeluk in 2002; Lily overleed vorig jaar. Michael wordt overleefd door David en Robin.
– Michael Francis Atiyah, wiskundige, geboren 22 april 1929; overleden 11 januari 2019
{{topLeft}}
{{bottomLeft}}
{{topRight}}
{{bottomRight}}
{{/goalExceededMarkerPercentage}}
{{/ticker}}
{{heading}}
{{#paragraphs}}
{{.}}
{{/paragraphs}}{highlightedText}}
- Delen op Facebook
- Delen op Twitter
- Delen via E-mail
- Delen op LinkedIn
- Delen op Pinterest
- Delen op WhatsApp
- Delen op Messenger