Reddit – matte – Hur högt går matematiken? Och vilka områden är högre än kalkyl?
Efter Multi-Variable Calculus och Linear Algebra kan du ta en sekvens som heter Introductory Analysis, som handlar om den rigorösa grunden för Calculus, och som introducerar språket för differentialformer så att satser i vektorkalkyl kan generaliseras till mer än tre dimensioner.
Därefter kan du ta en kurs som heter Real Analysis, som börjar med Measure Theory och handlar om hur man skulle generalisera integration för ovanliga, och till synes patologiska, funktioner av en reell variabel, och General Topology före eller samtidigt med detta är tillrådligt; det kan också innehålla material om funktionsrum, som är ämnet för nästa kurs.
Efter det kan du ta Functional Analysis, som i sin kärna handlar om de problem som uppstår när man gör linjär algebra över oändligt stora vektorrum; kunskaper i Complex Analysis är också tillrådligt, på grund av något som kallas spektralteori som talar om för dig när du kan ta ett uttryck som fungerar bra som en komplexdifferentierbar funktion och ersätta variabeln med en linjär operatör. (Detta bör innebära en flashback till Cayley-Hamilton-satsen från linjär algebra, där du lärde dig att om du expanderar det karakteristiska polynomet för en kvadratisk matris och sedan ersätter variabeln med matrisen, får du en nollmatris.)
Efter det skulle du förmodligen ta kurser i ämnen som operatörsteori och teorin om C*-algebras, som dessutom kräver en förståelse av abstrakt algebra på avancerad nivå; när du kommer till den här nivån kommer du att ha kommit in på en forskarskola och kommer att ha tagit en sådan kurs, vilket är ett vanligt krav för första året.
Det var bara ett försök att hitta den ”matematiska vägen framåt” från Calculus; det finns andra:
Utvecklingen av multivariabel integration i Introductory Analysis har en hel del djup geometrisk substans, på samma sätt som Calculus III har en hel del till synes slumpmässigt geometriskt innehåll; den tidigare vägen handlade i slutändan om att generalisera derivatan till funktioner på oändligt-dimensionella vektorrum, men den här vägen handlar om att generalisera den till manifolder, som lokalt sett ser ut som finit-dimensionella euklidiska rum.
Nu efter Calculus III kan man få en glimt av detta med en kurs på grundnivå om differentialgeometri för kurvor och ytor, men de seriösa grejerna som fungerar för högre dimensionella manifestor finns på forskarnivå, med början i Riemannsk geometri och fortsättning i Semi-Riemannsk geometri (faktiskt är nästan alla kurser på forskarnivå med ”geometri” i namnet, utom den olycksbådande ”algebraisk geometri”, av den här typen). Vid den här tiden kanske du vill läsa General Topology och Differential Topology, men den förstnämnda kursen kommer ändå att vara ett allmänt krav.
Om du kan din semiriemanniska geometri kanske du vill lära dig mer specifikt om de lorentziska manifolderna i den allmänna relativitetsteorin; när det gäller Calabi-Yau-manifolderna i supersträngteorin, förstås de bäst med hjälp av algebraisk geometri, och som du kommer att lära dig när du går igenom matematiken, är den matematiska kunskapen i sig själv inte så isolerad som kursvalen vill få dig att tro.
Om problemlösningsaspekterna i Calculus II är mer av det du är intresserad av finns det inte riktigt mycket för det, även om introduktionen till differentialekvationer och partiella differentialekvationer på grundnivå innehåller många knep, liksom ett par klasser som inte riktigt följer upp Calculus eller varandra, kända som diskret matematik och introduktion till talteori (den förstnämnda är, bland annat, en introduktion till två fantastiska och mycket beräkningsbara områden av matematiken som kallas grafteori och kombinatorik; Den innehåller också en bra introduktion till logik och mängdteori och fungerar ofta som introduktionskurs till bevisskrivning vid universitet).
Det finns kurser i differentialekvationer utöver den nivån, men de flesta av dem handlar om hur man bevisar att ekvationer faktiskt har lösningar och hur de skulle bete sig, men inte så mycket om slutna lösningar eller serielösningar till specifika ekvationer (och för att studera PDE:er på hög nivå krävs i princip funktionell analys och all den hårda inlärning som kommer fram till den punkten); Det finns en viss synergi med numerisk analys, studiet av metoder för numerisk approximation, som är viktigare än du kanske tror till en början (du kanske först avfärdar mittpunktsregeln, Newtons metod och Eulers framåtriktade metod, men de fungerar när det inte går att hitta lösningar i sluten form, och de numeriska metoderna blir ännu mer sofistikerade).
Med tanke på att sannolikhet och statistik bygger på sådana begrepp som medelvärden och area är det möjligt att basera dem på deras mer sofistikerade formuleringar med hjälp av kalkyl och mätteori; i princip kan vilken avtagsramp som helst i den första sekvensen upp till den begynnande forskarutbildningsnivån användas för att påbörja ett allt mer seriöst studium av statistik.
Analysens behov var den främsta motivationsfaktorn bakom mängdteorin, och även om du lär dig tillräckligt mycket av den för att klara dig (och fortsätta att läsa om den) i dina andra bevisbaserade matematikkurser, är det fortfarande ett fruktbart forskningsområde.
Tekniskt sett behöver du inte ens kalkyl eller linjär algebra för att lära dig abstrakt algebra, men det hjälper att ha den ”matematiska mognaden” från en kurs i linjär algebra i förväg.
Abstrakt algebra ligger bakom algebraisk geometri (i princip studiet av lösningsmängderna för polynomekvationer i mer än en variabel), algebraisk topologi (studiet av algebraiska invarianter för klassificering av topologiska utrymmen) och ett förvånansvärt stort antal saker som kan stödjas av beräkningar (det finns till och med ett programvarupaket bara för kommutativ algebra, kallat CoCoA).
Det ligger också bakom algebraisk talteori, som drar nytta av ett överraskande antal områden inom matematiken, liksom den andra stora grenen av talteori, analytisk talteori (komplex analys är en klar förutsättning här); man kan inte ana från början att nästan hela resten av matematiken måste tas in för att studera de naturliga talen.
Oh, på samma sätt som analys var huvudmotivatorn för mängdteori, var algebra huvudmotivatorn för kategoriteori; de är dock inte helt åtskilda, eftersom grupper och ringar beskrivs som ”mängder med…”, och det finns definitivt kategoriteoretiska insikter i strukturerna i analys.
Detta var inte ens en särskilt grundlig redogörelse, men det räcker att säga att matematikens områden inte är helt ordnade i fråga om svårighetsgrad eller hur en elev bör lära sig dem; de är inte ens organiserade i ett träd, utan mer som en digrafi. (Termerna ”helt ordnad”, ”träd” och ”digraf” skulle också behandlas i diskret matematik.)
Ofta skiljer sig den ordning i vilken en student lättast skulle lära sig matematik från den logiska ordning i vilken kunskapen byggs upp; i synnerhet finns särskilda kurser om matematikens grunder på forskarutbildningsnivå, men innan dess kan man arbeta som om grunderna är sunda.
Och ändå, om en teknik för problemlösning krävs för en viss kurs, bör kursen tas efter den kurs där tekniken lärs ut, vilket är anledningen till att en första kurs i komplexa variabler kräver åtminstone Kalkyl III, där linjeintegraler först behandlas.