Hipérbola

Hipérbola

¿Sabías que la órbita de una nave espacial puede ser a veces una hipérbola?

Una nave espacial puede utilizar la gravedad de un planeta para alterar su trayectoria e impulsarla a gran velocidad lejos del planeta y de vuelta al espacio utilizando una técnica llamada «honda gravitatoria».

Si esto ocurre, entonces la trayectoria de la nave espacial es una hipérbola.

(Juega con esto en Gravity Freeplay)

Definición

Una hipérbola son dos curvas que son como arcos infinitos.

Mirando sólo una de las curvas:

cualquier punto P está más cerca de F que de G en alguna cantidad constante

La otra curva es una imagen especular, y está más cerca de G que de F.

En otras palabras, la distancia de P a F es siempre menor que la distancia P a G en alguna cantidad constante. (Y para la otra curva P a G es siempre menor que P a F en esa cantidad constante.)

Cada arco se llama rama y F y G se llaman cada uno un foco.

Prueba tú mismo:

Intenta mover el punto P: ¿qué notas en las longitudes PF y PG?

También prueba a poner el punto P en la otra rama.

También hay otras cosas interesantes:

En el diagrama puedes ver:

• un eje de simetría (que pasa por cada foco)
• dos vértices (donde cada curva hace su giro más pronunciado)
• la distancia entre los vértices (2a en el diagrama) es la constante diferencia entre las longitudes PF y PG
• dos asíntotas que no forman parte de la hipérbola pero que muestran a dónde iría la curva si se continuara indefinidamente en cada una de las cuatro direcciones

Y, estrictamente hablando, también hay otro eje de simetría que va por el medio y separa las dos ramas de la hipérbola.

Sección cónica También puedes obtener una hipérbola cuando cortas un cono doble. El corte debe ser más pronunciado que el de una parábola, pero no tiene que ser paralelo al eje del cono para que la hipérbola sea simétrica. Así que la hipérbola es una sección cónica (una sección de un cono).

Ecuación

Poniendo una hipérbola en una gráfica x-y (centrada sobre el eje x y el eje y), la ecuación de la curva es:

x2a2 – y2b2 = 1

También:

Un vértice está en (a, 0), y el otro en (-a, 0)

Las asíntotas son las rectas:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Nota: la ecuación es similar a la de la elipse: x2/a2 + y2/b2 = 1, excepto por un «-» en lugar de un «+»)

Ecentricidad

Cualquier rama de una hipérbola puede definirse también como una curva en la que las distancias de cualquier punto a:

• un punto fijo (el foco), y
• una recta fija (la directriz)están siempre en la misma proporción.

Esta relación se llama excentricidad, y para una hipérbola es siempre mayor que 1.

La excentricidad (normalmente mostrada como la letra e) muestra cómo «no curvo» (variando de ser un círculo) la hipérbola es.

En este diagrama:

• P es un punto de la curva,
• F es el foco y
• N es el punto de la directriz para que PN sea perpendicular a la directriz.

La excentricidad es la relación PF/PN, y tiene la fórmula:

e = √(a2+b2)a

Usando «a» y «b» del diagrama anterior.

Latus Rectum

El Latus Rectum es la línea que pasa por el foco y es paralela a la directriz. La longitud del Latus Rectum es 2b2/a.

1/x

¡La función recíproca y = 1/x es una hipérbola!