Reddit – math – ¿Hasta dónde llegan las matemáticas? Y cuáles son los campos más altos que el cálculo?
Después del Cálculo Multivariable y el Álgebra Lineal, puedes tomar una secuencia llamada Análisis Introductorio, que se trata de la base rigurosa para el Cálculo, y que introduce el lenguaje de las formas diferenciales para que los teoremas del cálculo vectorial puedan ser generalizados a más de tres dimensiones.
Después de eso, puedes tomar una clase llamada Análisis Real, que comienza con la Teoría de la Medida y se ocupa de cómo uno generalizaría la integración para funciones inusuales, y aparentemente patológicas, de una variable real, y es aconsejable la Topología General antes o simultáneamente con esto; también puede incluir material sobre espacios de funciones, que son el tema de la siguiente clase.
Después de eso, puede tomar Análisis Funcional, que en su núcleo es acerca de los problemas que surgen al hacer álgebra lineal sobre espacios vectoriales de dimensión infinita; el conocimiento de Análisis Complejo es aconsejable también, debido a algo llamado teoría espectral que le dice cuando se puede tomar una expresión que funciona bien como una función compleja-diferenciable y sustituir la variable con un operador lineal. (Esto debería implicar un flashback al teorema de Cayley-Hamilton de álgebra lineal, donde aprendiste que si expandes el polinomio característico de una matriz cuadrada, y luego sustituyes la variable con la matriz, obtienes la matriz cero.)
Después de eso probablemente tomarías cursos de temas en cosas como la teoría de operadores y la teoría de las álgebras C*, que además requieren una comprensión a nivel de posgrado del Álgebra Abstracta; para cuando llegues a este nivel, habrás entrado en la escuela de posgrado y habrás tomado esa clase, que es un requisito común de primer año.
Ese fue sólo un intento de encontrar el «camino matemático a seguir» desde el Cálculo; hay otros:
El desarrollo de la integración multivariable en el Análisis Introductorio tiene mucha sustancia geométrica profunda, de la misma manera que el Cálculo III tiene mucho contenido geométrico aparentemente aleatorio; el camino anterior era en última instancia sobre la generalización de la derivada a las funciones en los espacios vectoriales de dimensión infinita, pero éste es sobre la generalización a los colectores, que localmente se parecen al espacio euclidiano de dimensión finita.
Ahora bien, después del Cálculo III, puedes echar un vistazo a esto con una clase de licenciatura sobre la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, pero el material serio que funciona para los colectores de dimensiones superiores está en el nivel de posgrado, empezando con la Geometría Riemanniana y continuando con la Geometría Semi-Riemanniana (en realidad, casi cualquier clase de nivel de posgrado con «Geometría» en su nombre, excepto la ominosa «Geometría Algebraica», está en esta línea). Por estas fechas quizá quieras cursar Topología General y Topología Diferencial, pero la primera será un requisito general de todos modos.
Si conoces la Geometría Semi-Riemanniana, puede que quieras aprender más específicamente sobre los colectores lorentzianos de la Relatividad General; en cuanto a los colectores de Calabi-Yau de la teoría de supercuerdas, se entienden mejor a través de la Geometría Algebraica, y como aprenderás a medida que avanzas en las matemáticas, el conocimiento matemático en sí mismo no está tan aislado como las selecciones de cursos te quieren hacer creer.
Si los aspectos de resolución de problemas del Cálculo II son más de lo que te interesa, no hay realmente mucho para eso, aunque la Introducción a las Ecuaciones Diferenciales y las Ecuaciones Diferenciales Parciales a nivel de licenciatura incluyen numerosas bolsas de trucos, al igual que un par de clases que no siguen del todo del Cálculo o de la otra, conocidas como Matemáticas Discretas y Teoría de Números Introductoria (la primera es, entre otras cosas, una introducción a dos áreas increíbles y altamente computacionales de las matemáticas llamadas Teoría de Grafos y Combinatoria; también incluye una buena introducción a la Lógica y la Teoría de Conjuntos y a menudo sirve como clase de Introducción a la Escritura de Pruebas en las universidades).
Hay clases de Ecuaciones Diferenciales más allá de ese nivel, pero la mayoría de ellas tratan sobre cómo demostrar que las ecuaciones tienen realmente soluciones y cómo se comportarían, pero no tanto sobre soluciones de forma cerrada o en serie para ecuaciones específicas (y el estudio de alto nivel de las EDP requiere básicamente Análisis Funcional y todo el duro aprendizaje que llega hasta ese punto); hay cierta sinergia con el Análisis Numérico, el estudio de los métodos de aproximación numérica, que es más importante de lo que se podría pensar al principio (al principio se podría despreciar la regla del punto medio, el método de Newton y el método de Euler hacia adelante, pero funcionan cuando no se pueden encontrar soluciones de forma cerrada, y los métodos numéricos se vuelven aún más sofisticados).
Como la probabilidad y la estadística se basan en conceptos como los promedios y el área, es posible basarlas en sus formulaciones más sofisticadas con el Cálculo y la Teoría de la Medida; básicamente cualquier rampa de salida en esa primera secuencia hasta el nivel de postgrado inicial puede utilizarse para iniciar un estudio cada vez más serio de la Estadística.
Las necesidades del Análisis fueron el principal factor motivador de la teoría de conjuntos, y aunque se aprende lo suficiente como para salir adelante (y seguir repasando) en las otras clases de matemáticas basadas en pruebas, sigue siendo un área de investigación fructífera.
Técnicamente ni siquiera necesitas Cálculo o Álgebra Lineal para aprender Álgebra Abstracta, pero ayuda tener la «madurez matemática» de una clase de Álgebra Lineal de antemano.
El Álgebra Abstracta está detrás de la Geometría Algebraica (básicamente, el estudio de los conjuntos de soluciones de las ecuaciones polinómicas en más de una variable), la Topología Algebraica (el estudio de los invariantes algebraicos para clasificar los espacios topológicos), y un sorprendente número de cosas que pueden ser asistidas por la computación (incluso hay un paquete de software sólo para el Álgebra Conmutativa, llamado CoCoA).
También está detrás de la Teoría Algebraica de los Números, que se nutre de un número sorprendente de áreas de las matemáticas, al igual que la otra rama principal de la teoría de los números, la Teoría Analítica de los Números (el Análisis Complejo es un prerrequisito definitivo aquí); no adivinarías desde el principio que casi todo el resto de las matemáticas necesita ser traído para estudiar los números naturales.
Oh, así como el Análisis fue el principal motivador de la Teoría de Conjuntos, el Álgebra fue el principal motivador de la Teoría de Categorías; sin embargo, no están totalmente separadas, porque los grupos y los anillos se describen como «conjuntos con…», y definitivamente hay conocimientos de teoría de categorías en las estructuras del Análisis.
Esto ni siquiera fue un relato particularmente minucioso, pero basta con decir que los campos de las matemáticas no están totalmente ordenados en nivel de dificultad o en cómo un estudiante debe aprenderlos; ni siquiera están organizados en un árbol, sino más bien como un dígrafo. (Además, los términos «totalmente ordenado», «árbol» y «dígrafo» se tratarían en Matemáticas Discretas.)
A menudo, el orden en el que un estudiante aprendería más fácilmente las matemáticas es diferente del orden lógico en el que se construyen los conocimientos; en particular, los cursos dedicados a los fundamentos de las matemáticas están en el nivel de posgrado, pero antes de eso, se puede trabajar como si los fundamentos fueran sólidos.
Aún así, si se requiere una técnica de resolución de problemas para una determinada clase, ésta debe tomarse después de la clase en la que se enseña la técnica, por lo que un primer curso de Variables Complejas requiere al menos Cálculo III, donde se cubren primero las integrales de línea.