Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización (viejo)
Vamos a resolver algunas ecuaciones cuadráticas por factorización así que digamos que tenía x al cuadrado más 4x es igual a 21 ahora su impulso podría ser tratar de factorizar y de alguna manera ponerlo igual a 21 y eso no te llevará a buenas soluciones, probablemente terminarás haciendo algo que no está justificado, lo que necesitas hacer aquí es poner toda la expresión cuadrática en un lado de la ecuación, lo harás en el lado izquierdo.así que pongamos a restar 21 de ambos lados de esta ecuación el lado izquierdo se convierte en x al cuadrado más 4x menos 21 y entonces el lado derechoy el lado derecho será igual a 0 y la forma de resolver esto es una ecuación cuadrática, tenemos una expresión cuadrática que es igual a 0, la forma de resolver esto es factorizarla y decir que cada uno de esos factores podría ser igual a 0, así que ¿cómo factorizamos esto? dos números cuyo producto es igual a 21 negativo y cuya suma es igual a 4 así que esto sería a más B tendría que ser igual a 4 ya que su producto es negativo tienen que ser de diferentes signos y así veamos el número que me salta a la vista es 7 y 3 si tengo 7 negativo y 3 positivo obtendría 4 negativo así que vamos a hacer 7 positivo y 3 negativo. 7 y 3 negativo por lo que la a y B positivo 7 y negativo 3 cuando tomo el producto obtengo negativo 21 cuando tomo su suma obtengo positivo 4 por lo que puedo reescribir esta ecuación aquí podría reescribirla como X más 7 por X menos 3 es igual a 0 y ahora puedo resolver esto diciendo mira tengo dos cantidades su producto es igual a 0 que significa que uno o los dos tienen que ser iguales a 0 así que eso significa que X más 7 es igual a 0 eso es una X o X menos 3 es igual a 0 podría restar 7 de ambos lados de esta ecuación y obtendría que X es igual a 7 negativo y por aquí puedo sumar tres a ambos lados de esta ecuación y obtendré que X es igual a 3 así que estos dos números son soluciones a esta ecuación puedes probarlo si haces 7 7 negativo 7 al cuadrado es 49 49 negativo 7 por 4 es menos 28 o negativo 28 y eso de hecho es igual a 21 y dejaré que lo pruebes con el 3 positivo en realidad hagámoslo 3 al cuadrado es 9 más 4 veces 3 es 12 9 más 12 es de hecho 21 hagamos un montón de ejemplos más digamos que tengo x al cuadrado más 49 es igual a 14x una vez más siempre que veas algo como esto pon todos tus términos en uno en un lado de la ecuación y obtén un 0 en el otro lado esa es la mejor manera de resolver una ecuación cuadrática así que vamos a restar 14x de ambos lados podríamos escribir esto como x al cuadrado menos 14x más 49 es igual a cero voy a ver 14x menos 14x es 0 esta cantidad menos 14x es esta cantidad justo ahí ahora solo tenemos que pensar en que dos números cuando tomo el producto voy a obtener 49 y cuando tomo su suma voy a obtener 14 negativo así que uno tiene que ser del mismo signo porque este es un número positivo justo aquí y ambos van a ser negativos porque su suma es negativa y hay algo interesante aquí, 49 es un cuadrado perfecto, sus factores son uno, siete y 49, así que tal vez el siete funcione, o mejor aún, tal vez el siete negativo funcione, y es siete negativo por siete negativo, es siete negativo por 49, y siete negativo más 7 negativo es 14 negativo. número y luego tenemos el número al cuadrado esto es un cuadrado perfecto esto es igual a X menos siete veces X menos siete es igual a cero no queremos olvidar que o podríamos escribir esto como X menos incluso al cuadrado es igual a cero por lo que esta fue una puntuación perfecta esto fue un cuadrado perfecto de un binomio y si X menos 7 al cuadrado es igual a 0 tomar la raíz cuadrada de ambos lados obtendremos que X menos siete es igual a cero, es decir, podríamos decir que X menos siete es cero o que X menos siete es cero, pero eso sería redundante, así que obtenemos que X menos siete es cero, añadimos 7 a ambos lados y obtenemos que X es igual a siete. digamos que tenemos x al cuadrado menos 64 es igual a cero ahora esto se ve interesante justo aquí esto se ve interesante usted podría ya podría ya la campana podría estar sonando en su cabeza sobre cómo resolver esto esto no tiene término X pero podríamos pensar en ello como tener un extra yo podría reescribir esto como x al cuadrado más 0x menos 64 así que en esta situación podríamos decir bien que dos números cuando los multiplico son iguales a 64 y cuando los sumo son iguales a cero y entonces cuando tomo su producto estoy obteniendo un número negativo bien esto es a por B es un número negativo así que eso debe significar que tienen signos opuestos así que eso debe significar que tienen signos opuestos cuando los sumo obtengo cero eso debe significar que a más menos B es igual a cero o que a es igual a B que estamos tratando con el mismo número lo que esencialmente estamos tratando con el mismo número hay los negativos de cada uno así que lo que puede ser bien si estamos haciendo el mismo número y sus negativos de cada uno si son si estamos tratando con los negativos de cada uno bien el 64 es exactamente 8 al cuadrado, pero es negativo 64, así que tal vez estamos tratando con 1 8 negativo y estamos haciendo con 1 8 positivo y si sumamos esos dos juntos, de hecho llegamos a cero, así que esto será X más o X menos 8 veces X más 8, ahora no siempre tienes que pasar por este proceso que hice aquí, puede que ya recuerdes que si tengo un más B por a menos B entonces eso es igual a a al cuadrado menos B al cuadrado así que si ves algo que encaja con el patrón a al cuadrado menos B al cuadrado puedes decir inmediatamente oh eso va a ser a más B a más B a es X B es ocho veces a menos B hagamos un par más de problemas generales no te digo que tipo van a ser digamos que tenemos X Permítanme cambiar los colores se está volviendo monótono digamos que tenemos x al cuadrado menos 24x más 144 es igual a cero bueno 144 es conspicuamente 12 al cuadrado y esto es conspicuamente 2 veces negativo 12 o esto se considera negativo 12 al cuadrado así que esto es negativo 12 veces negativo 12 esto es negativo 12 más negativo 12 así que esta expresión puede ser re-escrito como X menos 12 veces X menos 12 o X menos 12 al cuadrado y vamos a establecer que igual a 0 esto va a ser 0 cuando X menos 12 es igual a 0 se podría decir cualquiera de estos podría ser igual a 0, pero son la misma cosa añadir 12 a ambos lados de la ecuación y se obtiene X es igual a 12 y me acabo de dar cuenta de este problema aquí lo factorizado, pero en realidad no resolver la ecuación por lo que este tiene que ser igual a 0 vamos a dar un paso atrás a esta ecuación aquí arriba y la única manera de que esta cosa de aquí sea 0 es si X menos 8 es igual a 0 o X más 8 es igual a 0, así que sumemos 8 a ambos lados de esto y obtendremos que X podría ser igual a 8, restemos 8 de ambos lados de esto y obtendremos que X también podría ser igual a 8 negativo, así que esperemos que hagamos una más, sólo para realmente grabar el punto en tu cabeza, hagamos una más, digamos que tenemos 4x al cuadrado menos 25 es igual a 0, así que ya puedes ver el patrón. esto es una a al cuadrado es una a al cuadrado esto es una B al cuadrado tenemos el patrón de a al cuadrado menos B al cuadrado donde en este caso a sería igual a 2x correcto esto es 2x al cuadrado y B sería igual a 5 así que si tienes a al cuadrado menos B al cuadrado un cuadrado menos B al cuadrado esto va a ser igual a un más B por un menos B en esta situación eso significa que 4x al cuadrado menos 25 va a ser 2x más 5 por 2x menos 5 y por supuesto eso será igual a 0 y esto sólo será igual a 0 si 2x más 5 es igual a 0 o 2x menos 5 es igual a cero y, a continuación, podemos resolver cada uno de estos restar 5 de ambos lados se obtiene 2x es igual a 5 negativo dividir ambos lados por 2 se podría obtener una solución es negativo 5 mitades por aquí añadir 5 a ambos lados se obtiene 2x es igual a 5 positivo dividir ambos lados por 2 se obtiene X también podría ser igual a 5 positivo mitades por lo que ambos de estos satisfacer que la ecuación hasta allí