Teorema del Factor
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Teorema del Remanente y Teorema del Factor
¿Qué es el Teorema del Factor?
Cuando f(x) se divide por (x – a), obtenemos
f(x) = (x – a)Q(x) + resto
Desde el Teorema del Resto obtenemos
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)
Si f(a) = 0 entonces el resto es 0 y
f(x) = (x – a)Q(x)
Podemos decir entonces que (x – a) es un factor de f(x)
El Teorema del Factor establece que
(x – a) es un factor del polinomio f(x) si y sólo si f(a) = 0
Tenga en cuenta que las siguientes afirmaciones son equivalentes para cualquier polinomio f(x).
- (x – a) es un factor de f(x).
- El resto es cero cuando f(x) se divide por (x – a).
- f(a) = 0.
- La solución de f(x) = 0 es a.
- El cero de la función f(x) es a.
Ejemplo:
Determina si x + 1 es un factor de los siguientes polinomios.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4
Solución:
a) Sea f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Por tanto, x + 1 es un factor de f(x)
b) Sea g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Por tanto, x + 1 no es un factor de g(x)
¿Cómo usar el teorema del factor y el teorema del resto?
¿Qué son los teoremas y cómo se pueden utilizar para encontrar la factorización lineal de un polinomio?
El Teorema del Resto afirma que si un polinomio, f(x), se divide por x – k, el resto es igual a f(k).
El Teorema del Factor establece que el polinomio x – k es un factor del polinomio f(x) si y sólo si f(k) = 0.
Ejemplo:
Deja que f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
¿Es x – 1 un factor?
Encuentra todos los demás factores.
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¿Cómo utilizar el teorema del factor para factorizar polinomios?
Ejemplos:
-
Factor P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8
-
Factor P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12
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¿Cómo encontrar los factores restantes de un polinomio?
Una lección sobre el teorema del factor y la factorización completa de un polinomio.
- Aprender la conexión entre el teorema del factor y el teorema del resto.
- Aprender a utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es un factor de un polinomio dado o no.
- Utilizar la división sintética, junto con el teorema del factor para ayudar a factorizar un polinomio.
Ejemplo:
Factorizar completamente x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18
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Aplicación del teorema del factor
¿Cómo utilizar el teorema del factor para determinar si x – c es un factor del polinomio f?
Ejemplos:
- f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
- f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
- f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
- f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
- f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2
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¿Cómo explicar el teorema del factor?
Si f(x) es un polinomio y f(p) = 0 entonces (x – p) es un factor de f(x)
Si f(x) es un polinomio y f(-q) = 0 entonces (x + q) es un factor de f(x)
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Descripción y ejemplos del teorema del factor
Ejemplos:
Demuestra que (x + 1) es un factor de P(x) = x2 + 2x + 1
¿Es (x + 2) un factor de x3 + 4×2 – x – 3?
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