Kulmakiihtyvyys
Hiukkanen kaksiulotteisesti Muokkaa
Kaksiulotteisesti radan kulmakiihtyvyys on nopeus, jolla hiukkasen kaksiulotteinen radan kulmanopeus origon suhteen muuttuu. Hetkellinen kulmanopeus ω missä tahansa ajanhetkessä saadaan
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}}}
,
missä r {\displaystyle r}
on etäisyys origosta ja v ⊥ {\displaystyle {\displaystyle v_{\perp }}}
on hetkellisen nopeuden poikittainen radiaalikomponentti (eli sijaintivektoriin nähden kohtisuorassa oleva komponentti), joka sopimuksen mukaan on positiivinen vastapäivään tapahtuvassa liikkeessä ja negatiivinen myötäpäivään tapahtuvassa liikkeessä.
Siten hiukkasen hetkellinen kulmakiihtyvyys α saadaan
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}}{r}})}
.
Laajennetaan oikeaa puolta käyttämällä differentiaalilaskennan tuotossääntöä, tästä tulee
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}}}
.
Erikoistapauksessa, jossa hiukkanen käy ympyräliikettä origon ympäri, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}
muuttuu vain tangentiaaliseksi kiihtyvyydeksi a ⊥ {\displaystyle a_{{\perp }}}
, ja d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
katoaa (koska etäisyys origosta pysyy vakiona), joten yllä oleva yhtälö yksinkertaistuu muotoon α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}}
.
Kahdessa ulottuvuudessa kulmakiihtyvyys on plus- tai miinusmerkkinen luku, joka osoittaa suunnan, mutta ei osoita suuntaa. Merkkiä pidetään perinteisesti positiivisena, jos kulmanopeus kasvaa vastapäivään tai pienenee myötäpäivään, ja merkkiä pidetään negatiivisena, jos kulmanopeus kasvaa myötäpäivään tai pienenee vastapäivään. Kulmakiihtyvyyttä voidaan tällöin kutsua pseudoskalaariksi, numeeriseksi suureeksi, jonka merkki vaihtuu pariteetti-inversiossa, kuten yhden akselin invertoinnissa tai kahden akselin vaihtamisessa.
Hiukkanen kolmiulotteisesti Muokkaa
Kolmiulotteisesti kiertoradan kulmakiihtyvyys on nopeus, jolla kolmiulotteisen kiertoradan kiertoradan kulmanopeusvektorin nopeus muuttuu ajan myötä. Hetkellinen kulmanopeusvektori ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}
missä tahansa ajanhetkessä on ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} } }{r^{2}}}}
,
jossa r {\displaystyle \mathbf {r} }
on hiukkasen sijaintivektori ja v {\displaystyle \mathbf {v} }
on sen nopeusvektori.
Siten radan kulmakiihtyvyys on vektori α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha}}
määritelty kaavalla α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}}
.
Laajentamalla tätä derivaattaa käyttämällä ristikkäisproduktioiden tuotossääntöä ja tavallista lainaussääntöä saadaan:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )- -{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}}}
Jos r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
on vain r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}
, toinen termi voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}
. Tapauksessa, jossa etäisyys r {\displaystyle r}
hiukkasen etäisyys origosta ei muutu ajan myötä (mikä sisältää alatapauksena ympyräliikkeen), toinen termi häviää ja yllä oleva kaava yksinkertaistuu muotoon α = r × a r 2 {\displaystyle {\{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Yllä olevasta yhtälöstä voidaan palauttaa poikittainen radiaalinen kiihtyvyys tässä erikoistapauksessa seuraavasti:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }
.
Toisin kuin kahdessa ulottuvuudessa, kolmessa ulottuvuudessa kulmakiihtyvyyteen ei tarvitse liittyä kulmanopeuden muutosta: Jos hiukkasen asentovektori ”kiertyy” avaruudessa siten, että sen hetkellinen kulmasiirtymätaso (ts. hetkellinen taso, jossa sijaintivektori pyyhkäisee kulmaa) muuttuu jatkuvasti ajan myötä, niin vaikka kulmanopeus (eli nopeus, jolla sijaintivektori pyyhkäisee kulmaa) olisi vakio, kulmakiihtyvyys on silti nollasta poikkeava, koska kulmanopeusvektorin suunta muuttuu jatkuvasti ajan myötä. Näin ei voi tapahtua kahdessa ulottuvuudessa, koska asentovektori on rajoitettu kiinteään tasoon, joten mikä tahansa muutos kulmanopeudessa on tapahduttava sen suuruuden muutoksen kautta.
Kulmakiihtyvyysvektoria kutsutaan oikeammin pseudovektoriksi: Sillä on kolme komponenttia, jotka muuttuvat pyörimisessä samalla tavalla kuin pisteen kartesiokoordinaatit, mutta jotka eivät heijastuksissa muutu kuten kartesiokoordinaatit.
Suhde vääntömomenttiinEdit
Pistehiukkaseen kohdistuva nettovääntömomentti määritellään pseudovektoriksi
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }
,
jossa F {\displaystyle \mathbf {F} }
on hiukkaseen kohdistuva nettovoima.
Momentti on voiman rotaatioanalogi: se saa aikaan muutoksen systeemin rotaatiotilassa, aivan kuten voima saa aikaan muutoksen systeemin translaatiotilassa. Koska hiukkaseen kohdistuva nettovoima voidaan yhdistää hiukkasen kiihtyvyyteen yhtälöllä F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, voidaan toivoa, että voidaan rakentaa samanlainen yhteys, joka yhdistää hiukkaseen kohdistuvan nettomomentin hiukkasen kulmakiihtyvyyteen. Tämä voidaan tehdä seuraavasti:
Aluksi korvataan F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
edellä olevaan vääntömomentin yhtälöön, saadaan τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}})}
.
Mutta edellisestä kappaleesta johdettiin, että
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}
,
jossa α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
on hiukkasen kiertoradan kulmakiihtyvyys ja ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
on hiukkasen kiertokulmanopeus. Tästä seuraa, että τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
Erikoistapauksessa, jossa etäisyys r {\displaystyle r}
hiukkasen etäisyys origosta ei muutu ajan myötä, katoaa yllä olevan yhtälön toinen termi ja yllä oleva yhtälö yksinkertaistuu muotoon τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}
,
joka voidaan tulkita ”rotaatioanalogiaksi” F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, missä suuruus m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(tunnetaan hiukkasen inertiamomenttina) on massan m {\displaystyle m}
. Toisin kuin F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, tätä yhtälöä ei voida soveltaa mielivaltaiseen liikerataan. Yhteenvetona voidaan todeta, että vääntömomentin ja kulmakiihtyvyyden välinen yleinen suhde on väistämättä monimutkaisempi kuin voiman ja lineaarisen kiihtyvyyden välinen suhde.