Lukutyypit
Purplemath
Luvut luokitellaan tyypin mukaan. Ensimmäinen numerotyyppi on ensimmäinen tyyppi, josta olet koskaan oppinut: laskennalliset eli ”luonnolliset” luvut:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Seuraava tyyppi on ”kokonaisluvut”, jotka ovat luonnolliset luvut yhdessä nollan kanssa:
0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
…
(Pohjois-Afrikan oppineiden Intiasta levittämä luku nolla oli alun perin eurooppalaisten viranomaisten mielestä demoninen.)
Sisältö jatkuu alla
MathHelp.com
Sitten tulevat ”kokonaisluvut”, joita ovat nolla, luonnolliset luvut ja luonnollisten luvuilla olevat negaatiot:
…, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Seuraava lukutyyppi ovat ”rationaaliluvut” eli murtoluvut, joita pidetään teknisesti kokonaislukujen suhdelukuina (jaettuina). Toisin sanoen murtoluku muodostetaan jakamalla yksi kokonaisluku toisella kokonaisluvulla.
Huomaa, että jokainen uusi lukutyyppi sisältää edellisen tyypin sisällään. Kokonaisuudet ovat vain alkulukuja, joihin on heitetty nolla. Kokonaisluvut ovat vain kokonaislukuja, joihin on heitetty negaatioita. Ja murtoluvut ovat vain kokonaislukuja, joihin on lisätty kaikki jakoluvut. (Muista, että voit muuttaa minkä tahansa kokonaisluvun murtoluvuksi asettamalla sen luvun 1 päälle. Esimerkiksi kokonaisluku 4 on myös murtoluku
).
Murtoluvut
Kun olet oppinut murtoluvuista, on olemassa toinenkin suuri lukujen luokittelu: ne, joita ei voi kirjoittaa murtolukuina. Muista, että murtoluvut (joita kutsutaan myös rationaaliluvuiksi) voidaan kirjoittaa päättyvinä (päättyvinä) tai toistuvina desimaalilukuina; esimerkiksi 0,5 =
ja 0,76 = , ovat päättyviä desimaalilukuja, kun taas 0,333333…. = ja 0,538461538461… = ovat toistuvia desimaaleja. Toisaalta meillä on kaikki ne muut luvut, jotka voidaan kirjoittaa ei-toistuvina, ei-päätteisinä desimaalilukuina; nämä luvut eivät ole rationaalisia (eli niitä ei voi kirjoittaa murtolukuina), joten niitä kutsutaan ”irrationaalisiksi”. Esimerkkejä ovat (”neliöjuuri kahdesta”) tai luku (”3,14159…”, geometriasta). Rationaalit ja irrationaalit ovat kaksi täysin erillistä lukutyyppiä; päällekkäisyyttä ei ole.
Advertisement
Sijoittamalla nämä kaksi suurta luokittelua, rationaalit ja irrationaalit, yhteen joukkoon saadaan ”reaaliluvut”. Ellet ole ollut tekemisissä kompleksilukujen kanssa (luvut, joissa on ”i”, kuten 4 – 3i), niin jokainen koskaan näkemäsi luku on ollut ”oikea” luku. ”Mutta miksi”, kysyt, ”niitä kutsutaan ’reaaliluvuiksi'”? Onko olemassa ’teennäisiä’ lukuja?” No, kyllä, itse asiassa niitä on, vaikka niitä kutsutaankin itse asiassa ”kuvitteellisiksi” luvuiksi; niitä käytetään kompleksilukujen tekemiseen, ja ”kuvitteellinen” on se, mitä ”i” tarkoittaa.
Affiliate
Yleisin kysymys, jonka kuulen numerotyyppeihin liittyen, on jotakuinkin seuraavanlainen: ”Onko reaalinen luku irrationaalinen vai onko irrationaalinen luku reaalinen vai ei kumpaakaan… vai molempia”? Ellet tunne komplekseja, kaikessa mitä olet koskaan tehnyt, on käytetty reaalilukuja. Ellei luvussa ole i-kirjainta, se on reaaliluku.
Tässä on joitain tyypillisiä numerotyyppisiä kysymyksiä (olettaen, että et ole vielä oppinut mielikuvitusluvuista ja komplekseista):
-
Tosi vai epätosi: Kokonaisluku on myös rationaaliluku.
Koska mikä tahansa kokonaisluku voidaan muotoilla murtoluvuksi laittamalla se ykkösen päälle, niin tämä väite on tosi.
-
Tosi vai epätosi: Rationaaliluku on myös kokonaisluku.
Ei välttämättä; kokonaisluku 4 on myös rationaaliluku
, mutta esimerkiksi rationaaliluku ei ole myös kokonaisluku. Tämä väite on siis väärä.
-
Tosi vai epätosi: Luku on joko rationaaliluku tai irrationaaliluku, mutta ei molempia.
Tosi! Desimaalimuodossa luku on joko päättymätön ja toistumaton (joten se on irrationaaliluku) tai sitten se ei ole (joten se on rationaaliluku); näiden kahden numerotyypin välillä ei ole päällekkäisyyttä!
Sisältö jatkuu alla
Luokitellaan numerotyypin mukaan; joillakin luvuilla voi olla useampi kuin yksi tyyppi.
-
0,45
Tämä on päättyvä desimaali, joten se voidaan kirjoittaa murtolukuna:
. Koska tämä murtoluku ei redusoidu kokonaisluvuksi, se ei ole kokonaisluku eikä luonnollinen luku. Ja kaikki on reaalia, joten vastaus on: rationaalinen, reaalinen
-
3.1415926535897932384626433338327950288419716939937510…
Tunnistat tämän luultavasti π:ksi, vaikkakin tässä voi olla useampi desimaali kuin tavallisesti käytät. Kyse on kuitenkin siitä, että desimaali ei toistu, joten π on irrationaalinen. Ja kaikki (tähän mennessä tuntemasi) on reaalinen, joten vastaus on: irrationaalinen, reaalinen
-
3.14159
Älä anna tämän hämätä! Kyllä, käytät usein jotain tällaista π:n approksimaationa, mutta se ei ole π! Tämä on pyöristetty desimaali-approksimaatio, ja koska tämä approksimaatio päättyy, tämä on itse asiassa rationaali, toisin kuin π itse, joka on irrationaali! Vastaus on: rationaalinen, reaalinen
Affiliate
-
10
Ilmoituksena on, että tämä on laskennallinen luku. Se tarkoittaa, että se on myös kokonaisluku ja kokonaisluku. Tekstistä ja opettajasta riippuen (siinä on jonkin verran epäjohdonmukaisuutta) tämä voidaan laskea myös rationaaliluvuksi, jota se teknisesti ottaen onkin. Ja tietysti se on myös reaaliluku. Vastaus on: luonnollinen, kokonaisluku, kokonaisluku, rationaaliluku (mahdollisesti), reaaliluku
Tämä on murtoluku, joten se on rationaaliluku. Se on myös reaalinen, joten vastaus on: rationaalinen, reaalinen
Tämä voidaan kirjoittaa myös
, mikä on sama kuin edellisessä tehtävässä. Vastaus on: rationaalinen, reaalinen
Ensimmäinen impulssisi saattaa olla sanoa, että tämä on irrationaalinen, koska se on neliöjuuri, mutta huomaa, että tämä neliöjuuri yksinkertaistaa:
, joka on vain kokonaisluku. Vastaus on: kokonaisluku, rationaalinen, reaalinen
Tämä luku ilmoitetaan murtoluvuksi, mutta huomaa, että se redusoituu -3:een, joten tämäkin voidaan laskea kokonaisluvuksi. Vastaus on: kokonaisluku (mahdollisesti), rationaaliluku, reaaliluku
Lukuun ottamatta kirjan kohtaa, jossa sinun on luokiteltava lukuja tyypin mukaan, sinun ei todellakaan tarvitse tuntea tätä hierarkiaa kovin hyvin. Tärkeämpää on tietää, mitä termit tarkoittavat, kun kuulet ne. Jos opettajasi esimerkiksi puhuu ”kokonaisluvuista”, sinun pitäisi tietää, että termi viittaa laskulukuihin, niiden negaatioihin ja nollaan.
URL: https://www.purplemath.com/modules/numtypes.htm