Olet väärässä Common Core -matematiikan suhteen:

Muistat ehkä myös kuvan shekistä, joka meni nettiin vähän aikaa sitten – mies täytti poikansa koululle osoitetun shekin yrittämällä kirjoittaa shekin summan kymmeneen ruutuun. Sosiaalisen median ja sähköpostin välityksellä on levinnyt lukemattomia muitakin vastaavia kuvia ja niihin liittyvää pilkkaa (näistä esimerkeistä lisää hetken kuluttua).

Yleismaailmallisessa keskustelussa, joka on käyty Amerikan havaituista koulutuksellisista ongelmista, Common Core Standards -standardeista (yhteiset perusopetuksen standardit) on tullut eräänlainen yhdistävä nyrkkeilysäkki erityisesti peruskoulun matematiikan kohdalla. Kaikki tuntuvat rakastavan kuvaa koekysymyksestä, kotitehtävästä tai korjatusta työstä, joka mustamaalaa Common Corea. Tiedätte tyypin – kysymyksessä pyydetään oppilaita esittämään näennäisen yksinkertainen matematiikan ala-asteen aihe, mutta vastaus on annettava liian monimutkaiselta vaikuttavalla tavalla. Katsomme sitä ja sanomme: ”Mikseivät he voi tehdä sitä ihan tavalliseen tapaan?!”. Pelästymme, kun jokin mielestämme niin perustavanlaatuinen ja alkeellinen asia esitetään uudessa ja tuntemattomassa järjestyksessä, ja raivostumme, kun näemme, että oppilaan työ arvostellaan huonommaksi, vaikka se näyttäisi olevan oikein.

Valtaosa näiden viruskuvien ja -juttujen kommenteista ja uutisoinnista on ollut erittäin kriittisiä Common Corea kohtaan. Asia on kuitenkin näin – kaikki tämä kritiikki kiteytyy perustavanlaatuiseen väärinymmärrykseen Common Core State Standardsista (CCSS).

Lähes jokainen esimerkki näistä Common Corea vastaan suunnatuista hyökkäyksistä kuuluu jompaankumpaan kahteen kategoriaan:

1. Ihmiset, jotka levittivät esimerkkiä (ja roskaavat sitä), eivät ymmärtäneet kyseisen Common Core -standardin tarkoitusta
2. Esimerkistä vastaava opettaja ei ymmärtänyt kyseisen Common Core -standardin tarkoitusta

Asettele vaikka kymppikehysten tarkistusta (joka kuuluu ensimmäiseen kategoriaan) – isä turhautui numeroiden esitykseen, jota hän ei tuntenut, ja se sopi hienosti hänen ennakkokäsitykseensä siitä, että Common Core on kamala, joka vain hämmentää oppilaita ja vanhempia. Lyhyesti sanottuna isä on järkyttynyt siitä, että hän ei heti tunnista ja ymmärrä käsitettä, jota hänen tokaluokkalaiselleen opetetaan. Sen sijaan, että hän yrittäisi saada siitä tolkkua ja ymmärtää sen tarkoituksen, hän pilkkaa sitä, ja muut yhtä turhautuneet vanhemmat hyppäävät mukaan.

Itse asiassa kymppikehykset ovat tapa mallintaa visuaalisesti laskentajärjestelmäämme, joka auttaa lapsia ymmärtämään sitä paremmin. Niitä ei ole koskaan tarkoitettu korvaamaan nykyistä tapaamme kirjoittaa numeroita – ne on suunniteltu täydentäväksi apuvälineeksi, joka auttaa syvällisemmässä ymmärtämisessä. Vanhemmille voi toki olla turhauttavaa olla aluksi ymmällään lastensa kotitehtävien kanssa, varsinkin kun lapset ovat ensimmäisillä luokilla. Varmasti on opettajia, jotka eivät aina osu kohdalleen tehtävien kanssa tai jotka eivät tarjoa vanhemmille resursseja, joiden avulla he ymmärtäisivät jotain heille ehkä uutta, mutta loppujen lopuksi ei pidä unohtaa, että me kaikki tavoittelemme lastemme parhaita opintotuloksia. Olkaamme rehellisiä: tapa, jolla olemme opettaneet matematiikkaa Amerikassa sukupolvien ajan, ei ole toiminut kaikkien kohdalla, minkä vuoksi suuri osa väestöstä sanoo yksinkertaisesti: ”En osaa matematiikkaa”. Miksi sitten olemme sulkeutuneet pohtimaan uusia tapoja käsitteellistää matematiikan perusajatuksia?

Tarkastellaan nyt 5 x 3 -kysymystä. IFLSciencen (jota muuten rakastan) mukaan Redditin ja Imgurin kommentoijat ilmaisivat närkästyksensä ”liian pedanttisesta ’by-the-book’ -ajattelusta”. Koko juttu on kuin syyttäisi Common Corea siitä, että se tukahduttaa matemaattisen ajattelun tiukkojen ja mielivaltaisten määritelmien ja algoritmien hyväksi. Tämä on kuitenkin täysin väärä tulkinta Common Coresta. Närkästys on perusteltua, se on vain aiheetonta – tämä esimerkki on edellä mainitsemaani toista tyyppiä, jossa kouluttaja on ymmärtänyt ja soveltanut standardeja väärin ja lukenut ne liian suppeasti kirjaimellisesti.

Kyseisessä standardissa sanotaan: ”Tulkitse kokonaislukujen tuotteita, esim. tulkitse 5 × 7 esineiden kokonaismääräksi viidessä 7 esineen ryhmässä.” Tämä opettaja ilmeisesti luki tämän standardin sanovan, että ainoa tapa tarkastella 5 x 7 (tai kyseisen paperin tapauksessa 5 x 3) on 5 ryhmää, joissa kussakin on 7 objektia. Jos kyseessä on siis 5 ryhmää, joissa on 3 esinettä, se voisi näyttää 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Ja silti ”e.g.” tarkoittaa ”esimerkiksi”, ei ”Tämä on ainoa pätevä tulkinta”. Matemaattisesti lukutaitoisen henkilön olisi voitava tulkita 5 x 3 5+5+5:ksi tai 3 ryhmäksi, joissa kussakin on 5 objektia, varsinkin kun otetaan huomioon, että neljä standardia alempana luettelossa on standardi, joka koskee kommutaatiota (muiden ominaisuuksien ohella) kertolaskussa, esim. 5 x 3 on yhtä suuri kuin 3 x 5 (huomaa, että käyttämäni e.g. tarkoittaa, että tämä on vain yksi esimerkki; ominaisuus pätee äärettömän moneen muuhunkin lukuarvoon – ymmärrätkö, miten se toimii?). Näiden standardien perimmäisenä tavoitteena on auttaa lapsia kehittämään perustavanlaatuista ymmärrystä lukujärjestelmästämme ja peruslaskutoimituksista, joten jos oppilas tietää intuitiivisesti, että 5 x 3 on yhtä suuri kuin 3 x 5 ja että molemmat voidaan esittää kolmena rivinä, joissa on 5 kappaletta, tai viitenä rivinä, joissa on 3 kappaletta, tai kolmena pinoina, joissa on 5 penniä, tai viitenä pinoina, joissa on 3 omenaa, tai … no, ymmärrätte varmaan, olemme saavuttaneet tavoitteemme!

Kertolaskun tulkitseminen edellä kuvatulla tavalla ei ole läheskään uutta; pikemminkin se on melko tavanomaista tavaraa sen ymmärtämiseksi, mitä kertolasku on. Ehkä ajatus siitä, että oppilaat laitetaan näyttämään esimerkki paperilla, on pikemminkin uusi ilmiö, ja kyllä, Common Core ehdottomasti kannattaa sitä, että opettajat kannustavat oppilaita vuorovaikutukseen tapojen kanssa, joilla he mallintavat oppimiaan matemaattisia käsitteitä, jotta he hallitsisivat ne paremmin. Siinä ei kuitenkaan vaadita tiukkaa sitoutumista kapeisiin, mielivaltaisesti valittuihin tulkintoihin näistä malleista, ja opettajat, jotka suuntaavat opetuksensa tällä tavoin, tekevät väärin.

Toisena esimerkkinä mainittakoon tämä kuva, jonka sain ensimmäisen kerran eteenpäin lähetetyssä sähköpostiviestissä (tämä nimenomainen versio otettiin ilmeisesti David Van Santin, hiljattain Georgian osavaltion edustajainhuoneeseen pyrkineen republikaaniehdokkaan, joka hävisi eräälle republikaanitoverilleen, kotisivulta), ja joka kertoo matemaattisesta ongelmasta, joka on levinnyt viruaalisesti ja joka on auttanut nostamaan ihmisiä Common Core -opetuksen vastaisia asioita vastaan.

Ensi silmäyksellä Common Core -lähestymistavan kaavio saattaa vaikuttaa tarpeettoman monimutkaiselta, varsinkin kun sitä verrataan tavallisen vähennyslaskualgoritmin asetelmaan, jonka parissa me kaikki kasvoimme (puhumattakaan siitä, että kuvassa näkyy tavallisen algoritmin asetelma, mutta ei varsinaisesti prosessia, joka ei itse asiassa olekaan ihan niin yksinkertainen vaadittavan lainaamisen myötä). Useimmat katsovat numerolinjan kaaviota, näkevät yhdellä silmäyksellä joukon vaiheita, joissa ei näytä olevan paljon järkeä, ja hyväksyvät sen lisätodisteena, joka tukee jo ennestään kasvavaa raivoa Common Corea kohtaan, mikä johtuu osittain terveellisestä vahvistusvinoumasta.

Menetelmän tarkempi tarkastelu voi kuitenkin paljastaa, että numeroviivan (tärkeä visuaalinen väline aritmetiikassa ja algebrassa) käyttö mahdollistaa tämän menetelmän avulla erilaisen tavan ajatella yhteen- ja vähennyslaskua ja niiden suhdetta toisiinsa – elintärkeä tapa ajatella oppilaille, joiden haluaisimme ymmärtävän aritmetiikkaa riittävän syvällisesti, jotta se helpottaisi korkeampien matematiikan tasojen oppimista mielekkäällä tavalla (ja tällaisia oppilaita pitäisi olla periaatteessa kaikki oppilaat).

Jos et ole vielä ymmärtänyt toista kaaviota, ajattele tapaa, jolla ihmiset ennen antoivat vaihtorahaa kaupassa (ehkä hieman kadonnut taito nykyään). Oletetaan, että ostit jotain, joka maksoi 8,27 dollaria ja maksoit 20 dollarilla. Virkailija aloittaisi ostetun tavaran arvosta (tässä tapauksessa 8,27 dollaria) ja aloittaisi sitten vaihtorahojen antamisen, jolloin arvo nousisi ensin 8,30 dollariin, sitten 50 sentin tasolle, sitten parilliseen dollarin määrään, sitten kymmenen dollarin määrään ja niin edelleen, kunnes arvo nousisi siihen 20 dollariin, jolla maksoit:

”Okei, 8,27 dollaria, 30 senttiä <pistää kolme penniä käteen>, ja 20 lisää on 50 senttiä <pistää kaksi kympin kolikkoa käteen>, ja kaksi neljännesdollaria tekee yhdeksän <pistää kaksi neljännesdollaria käteen>, ja kymppi <antaa yhden dollarin>, ja kymppiä lisää tekee kaksikymmentä <antaa kympin>.”

Tämä lähestymistapa on ihmiselle täysin järkevä tapa antaa vaihtorahaa – siinä keskitytään pyöreisiin lukuihin, joita voimme helpommin laskea yhteen ja vähentää, ja siinä keskitytään vähennyslaskun todelliseen olemukseen – kahden viitattavan summan väliseen erotukseen. Vaihtorahan tapauksessa se on erotus sen välillä, mitä sinun piti maksaa, ja sen välillä, mitä maksoit (toisin sanoen vaihtorahasi). Koulussa oppimamme pystysuuntainen vähennyslaskualgoritmi ei tee tätä selväksi – se on ulkoa opittu algoritmi, jonka joku, joka on harjoitellut sitä, voi tehdä tehokkaasti lyijykynällä ja paperilla, ja se voidaan varmasti saada järkeväksi opiskelemalla kymmenlukujärjestelmäämme painottamalla eri numeroiden paikkoja ja lainaamisen käsitettä tarvittaessa.

Kun kyse on tämänkaltaisten vähennyslaskuongelmien tekemisestä päässään, epäilen, että useimmat ihmiset, jotka ovat erinomaisia tämäntyyppisessä mielenterveysmatematiikassa, käyttävät samanlaista menetelmää kuin esitetty numeroviivakaavio (muka naurettava Common Core -esimerkki). Kyky visualisoida ja pilkkoa ongelma antaa jollekulle mahdollisuuden pitää arvot helpommin mielessä ja tuottaa johdonmukaisemmin ja tehokkaammin oikean tuloksen laittamatta kynää paperille.

Tässä on hauska esimerkki vanhemmalta, joka pilkkaa Common Corea (löysin tämän Googlen kuvahaulla, mutta muistan muistaakseni nähneeni tämän kiertävän sähköpostin tai Facebookin kautta):

Tämä ongelma on sikäli hieman kirsikkaan poimittu, että se ei vaadi ”lainaamista” standardialgoritmissa, joten tämä on paljon helpommin suoritettavissa tuolla perinteisellä menetelmällä. Ja kuitenkin, vanhemman huumori sikseen, numeroviivamallin tarkoitus ei ole opettaa tehokkainta algoritmia vähennyslaskun suorittamiseen, vaan auttaa oppilaita ymmärtämään, mitä vähennyslasku on.

En todellakaan ehdota, että meidän ei pitäisi opettaa tavanomaista vähennyslaskualgoritmia, jonka opettelemiseen me kaikki olemme kasvaneet, eikä myöskään Common Core ole. CCSS:ssä sitä kutsutaan itse asiassa yhteen- ja vähennyslaskun ”standardialgoritmiksi”, ja CCSS:ssä edellytetään, että oppilaat hallitsevat sen täysin moninumeroisten lukujen osalta neljännen luokan loppuun mennessä. En myöskään väitä, että matematiikan oppituntien ensisijaisena tavoitteena pitäisi olla se, että oppilaat pystyvät suorittamaan monimutkaista matematiikkaa ilman kynää ja paperia. Matematiikan oppituntien tavoitteena pitäisi olla opettamiemme mekanismien syvällisen ymmärtämisen edistäminen, ja silloin oppilaiden pakottaminen oppimaan erilaisia tekniikoita esimerkiksi vähennyslaskutekniikoita varten voi antaa oppilaille mahdollisuuden lähestyä käsitettä monesta eri suunnasta, käyttää erilaisia välineitä ja liittää se muihin opittuihin käsitteisiin. Tämä on lyhyesti sanottuna sitä, mitä matemaattisen ymmärryksen syvällisessä opetuksessa pitäisi tehdä. Ja juuri tähän syvällisen tason ymmärryksen rakentamiseen tähtäävät erilaiset lähestymistavat ovat juuri sitä, mihin Common Core tähtää.

Kaikesta CCSS:ää ja erityisesti matemaattisia standardeja koskevasta nillittämisestä huolimatta, joita ihmiset rakastavat vihata näillä mielikuvilla tuntemattomista menetelmistä ja malleista tai töistä, jotka on selittämättömästi arvosteltu huonommiksi, ne ovat itse asiassa aika hyviä. Niiden taustalla on ajatus – pyrkimyksenä parantaa monia aiempia oppimisstandardeja – kannustaa syvälliseen ymmärrykseen, ja ne tähtäävät ehdottomasti siihen. Ne eivät ole täydellisiä – lukion matematiikan opettajana minulla on joitakin ongelmia sen suhteen, miten paljon asioita on mahdutettu tiettyihin kursseihin ja miten paljon tiettyjä aiheita saatetaan painottaa liikaa. Näitä asioita voidaan kuitenkin mukauttaa ajan myötä ilman, että niitä tarvitsee romuttaa kokonaan. Tai vaikka niitä ei parannettaisikaan, kyvykkään ja pätevän opettajan pitäisi pitää CCSS:ää ehdottomasti toimivana standardisarjana – parannuksena aiempaan. Jotta voisimme opettaa parhaalla mahdollisella tavalla näiden standardien mukaisesti, tarvitsemme parhaan mahdollisen opettajaryhmän sekä vahvemman kansallisen painotuksen koulutuksen arvolle. Viimeinen asia, jota tarvitsemme juuri nyt, on mielestäni opettajana, että aloitamme alusta uusien standardien kanssa juuri nyt, kun olemme tottumassa Common Core -standardeihin.