Reddit – matematiikka – Kuinka korkealle matematiikka menee? Ja mitkä ovat laskutoimitusta korkeampia aloja?
Monimuuttujalaskennan ja lineaarialgebran jälkeen voi ottaa sarjan nimeltä Introductory Analysis, jossa on kyse laskennan tiukasta perustasta ja jossa tutustutaan differentiaalimuotojen kieleen niin, että vektorilaskennan lauseet voidaan yleistää yli kolmeen ulottuvuuteen.
Sen jälkeen voit ottaa kurssin nimeltä Reaalianalyysi, joka alkaa mittateoriasta ja käsittelee sitä, miten voitaisiin yleistää integrointi epätavallisille ja näennäisen patologisille reaalimuuttujan funktioille, ja Yleinen topologia ennen tätä tai samanaikaisesti sen kanssa on suositeltavaa; se voi sisältää myös materiaalia funktioavaruuksista, jotka ovat seuraavan kurssin aiheena.
Sen jälkeen voit ottaa funktionaalianalyysin, joka pohjimmiltaan käsittelee kysymyksiä, joita syntyy, kun tehdään lineaarialgebraa äärettömän moniulotteisissa vektoriavaruuksissa; myös kompleksianalyysin tuntemus on suositeltavaa, koska spektraaliteoriaksi kutsutun teorian avulla kerrotaan, milloin voit ottaa lausekkeen, joka toimii hienosti kompleksisesti erilaistuvana funktiona, ja korvata muuttujan lineaarisella operaattorilla. (Tähän pitäisi liittyä muistikuva Cayley-Hamiltonin lauseesta lineaarialgebrasta, jossa opit, että jos laajennat neliömatriisin karakteristisen polynomin ja sitten korvaat muuttujan matriisilla, saat nollamatriisin.)
Sen jälkeen ottaisit luultavasti aihekursseja sellaisista asioista kuin operaattoriteoria ja C*-algebrojen teoria, jotka lisäksi vaativat gradutason ymmärrystä abstraktista algebrasta; kun pääset tälle tasolle, olet päässyt jatko-opiskelijaksi ja käynyt tällaisen kurssin, joka on yleinen ensimmäisen vuoden vaatimus.
Tämä oli vain yksi yritys löytää ”matikkapolku eteenpäin” Calculuksesta; on muitakin:
Esittelyanalyysin monimuuttujaintegraation kehittelyssä on paljon syvällistä geometrista substanssia, samaan tapaan kuin Calculus III:ssa on paljon näennäisen sattumanvaraista geometrista sisältöä; edellisessä polussa oli viime kädessä kyse derivaatan yleistämisestä funktioihin äärettömän ulottuvilla vektoriavaruuksilla, mutta tässä polussa on kyse sen yleistämisestä moninaisuuksiin, jotka paikoitellen näyttäytyvät kuin äärettömän ulotteinen eukleideen tila.
Nyt Calculus III:n jälkeen voit saada vilauksen tästä kurssilla, joka käsittelee Differential Geometry of Curves and Surfaces (Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria), mutta vakavasti otettavat asiat, jotka koskevat korkeampiulotteisia moninaisuuksia, ovat jatko-opiskelijatason kursseilla, jotka alkavat Riemannin geometriasta ja jatkuvat Semi-Riemannin geometrialla (itse asiassa melkein mikä tahansa jatko-opiskelijatason kurssi, jonka nimessä lukee ”geometria”, lukuun ottamatta uhkaavaa algebramaattista geometriaa), on tällä linjalla). Samoihin aikoihin saatat haluta ottaa General Topology (yleinen topologia) ja Differential Topology (differentiaalitopologia), mutta ensin mainittu on yleinen vaatimus joka tapauksessa.
Jos osaat Semi-Riemannian Geometriaa, saatat haluta oppia tarkemmin yleisen suhteellisuusteorian Lorentzin moninaisuuksista; mitä tulee superstring-teorian Calabi-Yaun moninaisuuksiin, ne ymmärretään parhaiten Algebraic Geometryn kautta, ja kuten opit matematiikan läpikäydessäsi, matemaattinen tietämys itsessään ei ole niin siiloutunutta kuin kurssivalinnat antavat ymmärtää.
Jos Calculus II:n ongelmanratkaisuaspektit ovat enemmän sitä, mistä olet kiinnostunut, ei ole oikeastaan paljon sellaista, vaikka perustutkintotason Johdatus differentiaaliyhtälöihin ja Osittaisdifferentiaaliyhtälöt sisältävätkin lukuisia pussukoita, samoin kuin pari kurssia, jotka eivät ihan seuraa Calculusta tai toisiaan, jotka tunnetaan nimillä Diskreetti matematiikka (Discrete Mathematics) ja Johdatus numeroteoriaan (Introductory Number Theory) (edellinen on muun muassa johdatus kahteen hämmästyttävään ja erittäin laskennalliseen matematiikan osa-alueeseen, joita kutsutaan nimillä Graafien teoria (Graafiteoriaa) ja Yhdistelmäteoria; se sisältää myös hienon johdannon logiikkaan ja joukko-oppiin, ja se toimii usein yliopistoissa Johdatus todistusten kirjoittamiseen -kurssina).
Differentiaaliyhtälöiden kursseja on tuon tason yläpuolella, mutta suurin osa niistä käsittelee sitä, miten todistetaan, että yhtälöillä on oikeasti ratkaisut ja miten ne käyttäytyisivät, mutta ei niinkään tiettyjen yhtälöiden suljetun muodon tai sarjan ratkaisuja (ja PDE:iden korkeatasoinen opiskelu vaatii periaatteessa funktionaalianalyysin ja kaiken siihen asti tulevan kovan oppimisen); on jonkin verran synergiaa Numeerisen analyysin kanssa, eli numeeristen approksimaatiomenetelmien tutkimisen kanssa, mikä on tärkeämpää kuin aluksi luulisi (keskipistesääntöä, Newtonin menetelmää ja Eulerin etenemismenetelmää saatetaan aluksi sivuuttaa, mutta ne toimivat silloin, kun suljettuun muotoon perustuvia ratkaisuja ei löydy, ja numeeriset menetelmät muuttuvat vieläkin kehittyneemmiksi).
Mikäli todennäköisyys ja tilastot perustuvat sellaisiin käsitteisiin kuin keskiarvot ja pinta-ala, on mahdollista perustaa niiden kehittyneempiin muotoiluihin laskennan ja mittausteorian avulla; periaatteessa mitä tahansa off-ramppia tuossa ensimmäisessä sarjassa aina alkuvaiheen jatkotutkintotasolle asti voidaan käyttää yhä vakavamman tilastotieteen opiskelun aloittamiseen.
Analyysin tarpeet olivat ensisijainen motivaatiotekijä joukko-opin taustalla, ja vaikka sitä oppii riittävästi selvitäkseen (ja kerratakseen sitä jatkuvasti) muilla todistuspohjaisilla matematiikan kursseilla, se on silti hedelmällinen tutkimusalue.
Teknisesti et edes tarvitse laskentaa tai lineaarialgebraa oppiaksesi abstraktia algebraa, mutta auttaa, jos sinulla on ”matemaattista kypsyyttä” lineaarialgebran kurssilta etukäteen.
Abstract Algebra on Algebraic Geometryn (periaatteessa useamman kuin yhden muuttujan polynomiyhtälöiden ratkaisujoukkojen tutkiminen), Algebraic Topologyn (topologisten tilojen luokitteluun käytettävien algebrallisten invarianttien tutkiminen) ja yllättävän monen laskennallisesti avustettavan asian takana (on olemassa jopa ohjelmistopaketti vain kommutatiivista algebraa varten, nimeltään CoCoA).
Se on myös Algebrallisen lukuteorian takana, joka vetää puoleensa yllättävän monia matematiikan osa-alueita, kuten myös toinen suuri lukuteorian haara, Analyyttinen lukuteoria (kompleksianalyysi on tässä selvä ennakkoedellytys); et arvaisi heti alkuunsa, että melkein koko muu matematiikka on otettava mukaan luonnollisten lukujen tutkimiseen.
Oh, aivan kuten Analyysi oli päämotiivi joukko-opin taustalla, Algebra oli päämotiivi kategoriateorian taustalla; ne eivät kuitenkaan ole täysin erillisiä, koska ryhmiä ja renkaita kuvataan ”joukkoina, joilla on…”, ja Analyysin rakenteissa on ehdottomasti kategoriateoreettisia oivalluksia.
Tämä ei ollut edes erityisen perusteellinen selostus, mutta riittää kun sanon, että matematiikan alat eivät ole täysin järjestäytyneitä vaikeustasoltaan tai siltä osin, miten opiskelijan tulisi ne oppia; ne eivät ole edes järjestäytyneet puuksi, vaan enemmänkin digraafiksi. (Myös termit ”täysin järjestetty”, ”puu” ja ”digraafi” käsiteltäisiin diskreetissä matematiikassa.)
Usein järjestys, jossa opiskelija oppisi matematiikkaa helpoimmin, poikkeaa siitä loogisesta järjestyksestä, jossa tietämys rakentuu; erityisesti matematiikan perusteita käsittelevät erityiset kurssit ovat jatko-opiskelijoiden tasolla, mutta sitä ennen voi työskennellä ikään kuin perusteet olisivat kunnossa.
Siltikin, jos ongelmanratkaisutekniikkaa vaaditaan tietyllä kurssilla, kurssi on syytä suorittaa sen kurssin jälkeen, jossa tekniikka opetetaan, minkä vuoksi kompleksimuuttujien ensimmäinen kurssi vaatii vähintään Calculus III:n, jossa käsitellään ensin viivaintegraaleja.