Sir Michael Atiyahin muistokirjoitus

Sir Michael Atiyahin muistokirjoitus

Viimeisen kerran tapasin 89-vuotiaana kuolleen Michael Atiyahin Tate Modernissa Lontoossa; tämä ei ole todennäköisin paikka, jossa törmää Ison-Britannian luultavasti suurimpaan matemaatikkoon sitten Isaac Newtonin, mutta se on täysin sopusoinnussa hänen laajan innostuksensa kanssa. Se oli kesäkuussa 2012, ja osallistuin hänen ja räikeän ranskalaisen matemaatikon Cédric Villanin kanssa paneelikeskusteluun: Matematiikka, kaunis muu maailma. Otsikko kertoo kaiken.

Me saamme kiittää rikkihappoa siitä, että Atiyah päätti ryhtyä matemaatikoksi. Alkuvuodesta 1940, kun Britannia ja Ranska taistelivat hänen kotimaastaan Libanonista, hänen vanhempansa lähettivät hänet Victoria-kouluun Kairoon. Vuonna 1984 antamassaan haastattelussa hän kertoi, että siellä ollessaan hän kiinnostui kovasti kemiasta, mutta päätti lopulta, että ”rikkihapon valmistaminen ja kaikki sellainen” ei ollut häntä varten: ”Luetteloita faktoista, vain faktoja …”. Siitä lähtien matematiikasta tuli hänen intohimonsa. ”En koskaan vakavasti harkinnut tekeväni mitään muuta.” Atiyahin työllä oli syvä vaikutus nykypäivän matematiikkaan.

Atiyah oli geometrikko siinä mielessä, että hänellä oli visuaalinen ajattelu liittoutuneena abstraktin symboliikan kanssa, uusi asenne, joka pyyhkäisi läpi matematiikan 1900-luvun puolivälissä. Ajatteli kuin geometriaa mutta kirjoitti siitä kuin algebraa, ja vieläpä hyvin esoteerista algebraa. Hänen tutkimuksensa jakautuu neljään pääjaksoon, jotka ovat jossain määrin päällekkäisiä – 1950-luvulla algebrallinen geometria, 60-luvulla ja 70-luvun alussa K-teoria, 60-80-luvuilla indeksiteoria ja 70-luvun lopusta 80-luvun puoliväliin ulottuva ulottumateoria, jossa hänen ajatuksistaan tuli erittäin vaikutusvaltaisia kvanttifysiikassa.

Algebrallinen geometria kehittyi alun perin René Descartesin 1600-luvulla edistämästä syvästä yhteydestä geometrian ja algebran välillä. Aloitetaan Eukleideen tasosta ja otetaan käyttöön koordinaatit – numeroparit, jotka kuvaavat pisteen sijaintia samaan tapaan kuin leveys- ja pituusasteet määrittävät pisteen Maan pinnalla. Käyrien geometriset ominaisuudet voidaan sitten kuvata algebrallisilla yhtälöillä, joten geometrian kysymyksiin voidaan vastata algebran avulla ja päinvastoin.

1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa matemaattiseen maailmaan ilmestyi uusi lapsi: topologia, jossa geometrisia muotoja voidaan muotoilla ikään kuin kimmoisiksi. Klassiset ominaisuudet, kuten pituudet ja kulmat, menettävät merkityksensä, ja ne korvataan käsitteillä, kuten että ne ovat toisiinsa liittyviä, solmuja tai niissä on reikä kuin donitsissa.

Topologia osoittautui perustavanlaatuiseksi monilla matematiikan aloilla. Kehitettiin tekniikoita, joilla topologiseen avaruuteen voidaan liittää erilaisia ”invariantteja”, jotka paljastavat, milloin avaruudet voivat tai eivät voi deformoitua toisiinsa.

Yksi tehokkaimmista invarianteista, homologian, loi Emmy Noether, 1800-luvun lopun ja 1900-luvun alun suurin naispuolinen matemaatikko. Hän tulkitsi uudelleen abstraktin algebran termein alkeelliset menetelmät ominaisuuksien, kuten pinnan reikien lukumäärän, laskemiseksi.

Tosiasiassa Noether selitti, että reikien ja niihin liittyvien rakenteiden laskemisen lisäksi voimme kysyä, miten ne yhdistyvät, ja poimia vastauksesta topologista tietoa.

Atiyah aloitti tutkijanuransa algebrallisessa geometriassa, mutta ohjaajansa William Hodgen vaikutuksesta Cambridgessa hän siirtyi nopeasti viereiselle alalle, differentiaaligeometriaan, jossa tutkitaan sellaisia käsitteitä kuin kaarevuus – sitä, miten avaruus poikkeaa Eukleideen tasaisesta tasosta. Siellä hän teki suuria edistysaskeleita algebrallisen geometrian, differentiaaligeometrian ja topologian välisissä vuorovaikutussuhteissa.

Eukleideen tutkimukset ympyrästä sisältävät sen tangentit: suorat viivat, jotka koskettavat ympyrää yhdessä pisteessä, kuten polkupyörän pyörää tukeva tie. Vastaavasti pallolla on perhe tangenttitasoja, yksi jokaiselle sen pinnan pisteelle. Tällaista yleistä perhettä kutsutaan vektorinipuksi: ”Nipuksi” siksi, että pallo sitoo kaikki tasot yhteen, ja ”vektoriksi” siksi, että viivojen ja tasojen korkeampiulotteisia analogeja kutsutaan vektoriavaruuksiksi.

Vektorinipun topologia antaa tietoa taustalla olevasta avaruudesta. Esimerkiksi ympyrän tangentit muodostavat sylinterin. Todisteena: käännä jokaista tangenttisuoraa oikean kulman kautta pois ympyrän tasosta, ja saat sylinterin. Ympyrään liittyy toinenkin vektorinippu, jossa suorat on kierretty niin, että ne muodostavat kuuluisan Möbius-kaistan, pinnan, joka eroaa topologisesti sylinteristä, koska sillä on vain yksi sivu. Atiyah sovelsi näitä ajatuksia ”elliptisiin käyriin”, jotka ovat itse asiassa donitsin muotoisia pintoja, joilla on mielenkiintoisia lukuteoreettisia ominaisuuksia.

Hänen seuraava aiheensa, K-teoria, on Noetherin homologian invariantin kauaskantoinen laajennus. Sylinteri ja Möbiuskaista ovat topologisesti erillisiä, koska niihin liittyvillä nipuilla on erilaiset kierteet. K-teoriassa hyödynnetään vektorinippuja tällaisten kierteiden korkeampiulotteisten analogioiden vangitsemiseksi.

Aihe koki 60-luvulla nopean kehityksen kauden, jota vauhdittivat huomattavat yhteydet muihin matematiikan suuriin alueisiin, ja se tarjosi topologeille tehokkaan invarianttien työkalupakin.

Atiyah, usein yhdessä muiden johtavien matemaatikoiden kanssa, oli näiden kehitystulosten liikkeelle paneva voima. Tärkeitä aiheita olivat René Thomin kobordismiteoria (miten yksi ympyrä jakautuu kahdeksi, kun siirrytään housujen vyötäröltä lahkeiden reikiin, tehdään vain moniulotteisille avaruuksille) ja Raoul Bottaksen ensimmäisenä todistama jaksollisuusteoria, joka osoittaa, että korkeammat K-ryhmät toistuvat kahdeksan pituisessa syklissä.

Indeksiteorian juuret juontavat juurensa havainnosta, jonka mukaan maisemien topologiset piirteet, kuten vuorenhuippujen, laaksojen ja solien lukumäärät, ovat yhteydessä toisiinsa. Jos haluaa päästä eroon huipusta tasoittamalla sitä, on päästävä eroon myös esimerkiksi solasta. Indeksi järjestää tällaiset ilmiöt, ja sitä voidaan sopivissa olosuhteissa käyttää todistamaan, että jollakin alueella on oltava huippu.

Maisema on metafora matemaattisen funktion kuvaajalle, ja laajamittainen yleistys suhteuttaa differentiaaliyhtälön ratkaisujen lukumäärän esoteerisempaan topologiseen indeksiin.

Differentiaaliyhtälöt suhteuttavat eri suureiden muutosnopeuksia toisiinsa, ja ne ovat kaikkialla läsnä matemaattisessa fysiikassa; Atiyah-Singerin indeksiteoreemi, joka todistettiin yhdessä amerikkalaisen matemaatikon Isadore Singerin kanssa vuonna 1963, paljastaa erittäin merkittävän yhteyden topologisen indeksin ja differentiaaliyhtälön ratkaisujen välillä.

Sopivassa matemaattisessa ympäristössä tämä voi johtaa todisteeseen siitä, että ratkaisun on pakostakin oltava olemassa, niinpä Atiyah-Singerin indeksiin on olemassa laajalti sovelluksia fyysikossa. Neljäkymmentä vuotta löytönsä jälkeen kaksikko sai yhdessä Norjan tiedeakatemian Abel-palkinnon vuonna 2004.

Fysiikassa syntyi mittausteoria, joka formalisoi tietyt kvanttikenttien ja -hiukkasten symmetriat. Ensimmäinen esimerkki syntyi James Clerk Maxwellin sähkömagneettisen kentän yhtälöistä (1861), joissa tiettyjä matemaattisia muunnoksia voidaan soveltaa muuttamatta fysiikkaa.

Vuonna 1954 Chen Ning Yang ja Robert Mills laajensivat tämän ajatuksen koskemaan vahvaa vuorovaikutusta, joka pitää jokaisen kvanttihiukkasen yhdessä atomiytimessä. Symmetria osoittautui elintärkeäksi kvanttimekaniikalle – esimerkiksi hiljattain löydetty Higgsin bosoni, joka antaa hiukkasille massan, toimii rikkomalla tiettyjä symmetrioita – ja mittasymmetrioilla on valtava merkitys.

Atiyah antoi keskeisiä ideoita heidän matematiikkaansa, sillä hän käytti indeksejä koskevaa teoriaansa tutkiessaan instantoneja (hiukkasia, jotka syntyvät olemassaoloonsa ja katoavat sieltä saman tien) ja magneettisia monopoleja (pohjoisen magneettisen navan kaltaisia hiukkasia, joilla ei ole vastaavaa etelänapaa).

Vuonna 1983 hänen tohtoriopiskelijansa Simon Donaldson käytti näitä ideoita todistaakseen hämmästyttävän lauseen: toisin kuin lähes kaikki topologit odottivat, neliulotteisessa avaruudessa on äärettömän monta erilaista erilaistuvaa rakennetta – tässä suhteessa täysin erilainen kuin missään muussa ulottuvuudessa. Kaiken tämän työn laajempi konteksti on superstring-teoria, kvanttiteorian ja Albert Einsteinin suhteellisuusteorian oletettu yhdistelmä.

Atiyah syntyi Lontoossa, yhtenä libanonilaisen virkamiehen Edwardin ja hänen vaimonsa Jeanin (sukunimeltään Levens) neljästä lapsesta, joka oli syntynyt skotlantilaista syntyperää olevassa Yorkshiressä. Perhe muutti Khartumiin, Sudaniin, jossa Michael kävi koulua ennen kuin hän siirtyi Kairon Victoria Collegeen ja 16-vuotiaana Manchester Grammar Schooliin valmistautuakseen Cambridgeen. Hän oli aina innostunut matematiikasta. Innostava opettaja tutustutti hänet projektiogeometriaan ja William Rowan Hamiltonin kvaternionialgebraan, ja hän luki numeroteoriasta ja ryhmäteoriasta – kaikki nämä vaikuttivat selvästi hänen myöhempiin matemaattisiin kiinnostuksenkohteisiinsa.

Kaksi vuotta kestäneen asepalveluksen jälkeen hän opiskeli vuonna 1949 Cambridgen Trinity Collegessa ja jäi sinne väitöskirjansa ajaksi. Hän toimi Princetonin Institute for Advanced Study -instituutissa (mm. professorina 1969-72) sekä Cambridgessa ja Oxfordissa, jossa hän oli Savilianin geometrian professorina 1963-69 ja Royal Societyn tutkimusprofessorina 1973-1990. Hänestä tuli Royal Societyn jäsen vuonna 1962, ja hän toimi sen puheenjohtajana vuosina 1990-1995. Vuonna 1966 hän voitti Fieldsin mitalin, joka on matemaatikon korkein kunnianosoitus.

Vuonna 1990 hänestä tuli Cambridgen Trinity Collegen maisteri ja Cambridgen Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences -instituutin johtaja. Hänet lyötiin ritariksi vuonna 1983, ja hänestä tehtiin Order of Merit -järjestön jäsen vuonna 1992. Jäätyään eläkkeelle Trinity Collegesta vuonna 1997 hän muutti vaimonsa Lilyn (o.s. Brown) kanssa, jonka kanssa hän oli mennyt naimisiin vuonna 1955, Edinburghiin.

Atiyah oli aina innokas yleisötyön puolestapuhuja, joka piti suosittuja esitelmiä matematiikan kauneudesta ja elinikäisestä intohimostaan aihetta kohtaan. Pienikokoinen ja pienikokoinen, hiljainen ja tarkka puhuja, hän pystyi kuitenkin pitämään yleisön lumoissaan. Näin muistan hänet tuona päivänä Tate Modernissa kertomassa ei-matemaatikoille, miksi me teemme matematiikkaa, mitä varten sitä tehdään ja miltä se tuntuu.

Hänellä ja Lilylla oli kolme poikaa: John, David ja Robin. John kuoli kiipeilyonnettomuudessa vuonna 2002; Lily kuoli viime vuonna. Michaelista jäävät henkiin David ja Robin.

– Michael Francis Atiyah, matemaatikko, syntynyt 22. huhtikuuta 1929; kuoli 11. tammikuuta 2019

• Jaa Facebookissa
• Jaa Twitterissä
• Jaa sähköpostitse
• Jaa LinkedInissä
• Jaa Pinterestissä
• Jaa WhatsAppissa
• Jaa Messengerissä