Hyperbole

Hyperbole

Savez-vous que l’orbite d’un vaisseau spatial peut parfois être une hyperbole ?

Un vaisseau spatial peut utiliser la gravité d’une planète pour modifier sa trajectoire et le propulser à grande vitesse loin de la planète et de nouveau dans l’espace en utilisant une technique appelée « fronde gravitationnelle ».

Si cela se produit, alors la trajectoire du vaisseau spatial est une hyperbole.

(Jouez avec cela à Gravity Freeplay)

Définition

Une hyperbole est deux courbes qui sont comme des arcs infinis.

En regardant juste une des courbes :

tout point P est plus proche de F que de G par une certaine quantité constante

L’autre courbe est une image miroir, et est plus proche de G que de F.

En d’autres termes, la distance de P à F est toujours inférieure à la distance de P à G par une certaine quantité constante. (Et pour l’autre courbe P à G est toujours inférieure à P à F de cette quantité constante.)

Chaque arc est appelé une branche et F et G sont chacun appelés un foyer.

Essayez vous-même :

Essayez de déplacer le point P : que remarquez-vous sur les longueurs PF et PG ?

Essayez également de placer le point P sur l’autre branche.

Il y a aussi d’autres choses intéressantes :

Sur le diagramme, vous pouvez voir :

• un axe de symétrie (qui passe par chaque foyer)
• deux sommets (où chaque courbe fait son virage le plus serré)
• la distance entre les sommets (2a sur le schéma) est la constante. différence entre les longueurs PF et PG
• deux asymptotes qui ne font pas partie de l’hyperbole mais montrent où irait la courbe si elle était poursuivie indéfiniment dans chacune des quatre directions

Et, strictement parlant, il y a aussi un autre axe de symétrie qui va au milieu et sépare les deux branches de l’hyperbole.

Section tonique On peut aussi obtenir une hyperbole quand on tranche un double cône. La tranche doit être plus raide que celle d’une parabole, mais il n’est pas nécessaire qu’elle soit parallèle à l’axe du cône pour que l’hyperbole soit symétrique. L’hyperbole est donc une section conique (section d’un cône).

Equation

En plaçant une hyperbole sur un graphique x-y (centré sur l’axe des x et l’axe des y), l’équation de la courbe est :

x2a2 – y2b2 = 1

Aussi:

Un sommet est à (a, 0), et l’autre est à (-a, 0)

Les asymptotes sont les lignes droites :

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Remarque : l’équation est similaire à celle de l’ellipse : x2/a2 + y2/b2 = 1, sauf qu’il y a un « – » au lieu d’un « + »)

Excentricité

Toute branche d’une hyperbole peut aussi être définie comme une courbe où les distances de tout point par rapport à :

• un point fixe (le foyer), et
• une droite fixe (la directrice)sont toujours dans le même rapport.

Ce rapport s’appelle l’excentricité, et pour une hyperbole, il est toujours supérieur à 1.

L’excentricité (généralement représentée par la lettre e) montre à quel point l’hyperbole est « non curviligne » (variant par rapport à un cercle).

Sur ce diagramme:

• P est un point sur la courbe,
• F est le foyer et
• N est le point sur la directrice de sorte que PN est perpendiculaire à la directrice.

L’excentricité est le rapport PF/PN, et a pour formule :

e = √(a2+b2)a

En utilisant « a » et « b » du diagramme ci-dessus.

Latus Rectum

Le Latus Rectum est la ligne passant par le foyer et parallèle à la directrice. La longueur du rectum latéral est 2b2/a.

1/x

La fonction réciproque y = 1/x est une hyperbole!