Résoudre des équations quadratiques par factorisation (ancien)
résolvons quelques équations quadratiques par factorisation alors disons que j’avais x au carré plus 4x est égal à 21 maintenant votre impulsion pourrait être d’essayer de factoriser… de factoriser un X et d’une manière ou d’une autre de le rendre égal à 21 et cela ne vous mènera pas à de bonnes solutions vous finirez probablement par faire quelque chose qui n’est pas justifié ce que vous devez faire ici est de mettre l’expression quadratique entière d’un côté de l’équation le fera du côté gauche.gauche, donc on soustrait 21 des deux côtés de l’équation, le côté gauche devient alors x au carré plus 4x moins 21 et le côté droit sera égal à 0 et le côté gauche sera égal à 0.La façon dont vous voulez résoudre cette équation quadratique est la suivante : nous avons une expression quadratique égale à 0. La façon dont vous voulez résoudre cette équation est de la factoriser et de dire que chacun de ces facteurs pourrait être égal à 0. deux nombres dont le produit est égal à 21 négatif et dont la somme est égale à 4 donc ce serait a plus B qui devrait être égal à 4 puisque leur produit est négatif ils doivent être de signes différents et donc voyons le nombre qui me saute aux yeux c’est 7 et 3 si j’ai 7 négatif et 3 positif j’obtiendrais 4 négatif donc faisons 7 positif et 3 négatif. 7 et négatif 3 donc le a et le B positif 7 et négatif 3 quand je prends le produit j’obtiens négatif 21 quand je prends leur somme j’obtiens positif 4 donc je peux réécrire cette équation ici je pourrais la réécrire comme X plus 7 fois X moins 3 est égal à 0 et maintenant je peux résoudre ça en disant regardez j’ai deux quantités leur produit est égal à 0 ça veut dire que l’un ou les deux doivent être égaux à 0. donc que X plus 7 est egal a 0 c’est un X ou X moins 3 est egal a 0 je pourrais soustraire 7 des deux cotes de cette equation et j’obtiendrais X est egal a negative 7 et ici je peux ajouter trois aux deux cotes de cette equation et j’obtiendrais X est egal a 3 donc ces deux nombres sont des solutions a cette equation vous pouvez essayer. cette équation vous pouvez essayer si vous faites 7 7 négatif 7 au carré est 49 49 négatif 7 fois 4 est moins 28 ou négatif 28 et c’est effectivement égal à 21 et je vous laisse essayer avec le 3 positif en fait faisons juste 3 au carré est 9 plus 4 fois 3 est 12 9 plus 12 est effectivement 21 faisons d’autres exemples disons que j’ai x au carré plus 49 est égal à 14x une fois de plus chaque fois que vous voyez quelque chose comme ça mettez tous vos termes d’un côté de l’équation et obtenez un 0 de l’autre côté c’est la meilleure façon de résoudre une équation quadratique donc soustrayons 14x des deux côtés nous pourrions écrire ceci comme x au carré moins 14x plus 49 est égal à zéro je vais voir 14x moins 14x c’est 0 cette quantité moins 14x est cette quantité juste ici maintenant nous devons juste penser à ces deux nombres quand je prends le produit je vais obtenir 49 et quand je prends leur somme je vais obtenir 14 négatif donc d’une part ils doivent être du même signe parce que c’est un nombre positif ici et ils vont tous les deux être négatifs parce que leur somme est négative et il y a quelque chose d’intéressant ici 49 est un carré parfait ses facteurs sont 1, 7 et 49 alors peut-être que 7 va marcher ou encore mieux peut-être que 7 négatif va marcher et c’est le cas 7 négatif fois 7 négatif est fois 7 négatif est 49 et 7 négatif plus 7 négatif est 14 négatif nous avons ce modèle là où nous avons deux fois le nombre et ensuite nous avons le nombre au carré. nombre et ensuite on a le nombre au carré c’est un carré parfait c’est égal à X moins sept fois X moins sept c’est égal à zéro on ne veut pas l’oublier ou on pourrait l’écrire comme X moins même au carré est égal à zéro donc c’était un score parfait c’était un carré parfait d’une binomiale et si X moins 7 au carré est égal à 0 prenez la racine carrée des deux côtés vous obtiendrez la racine carrée des deux côtés. la racine carrée des deux côtés, vous obtiendrez X moins sept est égal à zéro. On pourrait dire X moins sept est égal à zéro ou X moins sept est égal à zéro, mais ce serait redondant, alors on obtient simplement X moins sept est égal à zéro, on ajoute 7 aux deux côtés et on obtient X est égal à sept. disons que nous avons x au carré moins 64 est égal à zéro maintenant ça a l’air intéressant juste ici ça a l’air intéressant vous pourriez déjà avoir vous pourriez déjà avoir la cloche qui sonne dans votre tête sur la façon de résoudre ceci ceci n’a pas de terme X mais nous pourrions penser qu’il a un terme supplémentaire je pourrais réécrire ceci comme x au carré plus 0x moins 64 donc dans cette situation nous pourrions dire que ces deux nombres, quand je les multiplie, sont égaux à 64 et quand je les additionne, ils sont égaux à zéro et quand je prends leur produit, j’obtiens un nombre négatif, c’est a fois B, c’est un nombre négatif, donc ça doit vouloir dire qu’ils ont des signes opposés, donc ça doit vouloir dire qu’ils ont des signes opposés quand je les additionne, j’obtiens zéro, donc ça doit vouloir dire que que a plus moins B est égal à zéro ou que a est égal à B qu’on a affaire au même nombre, qu’on a essentiellement affaire au même nombre, ce sont les négatifs l’un de l’autre, alors qu’est-ce que ça peut être ? Si on a affaire au même nombre et à leurs négatifs l’un de l’autre, si on a affaire à des négatifs l’un de l’autre, eh bien le 64 est exactement 8 au carré mais il est négatif 64 alors peut-être que nous avons affaire à 1 8 négatif et à 1 8 positif et si nous additionnons ces deux-là nous arrivons effectivement à zéro alors ce sera X plus ou X moins 8 fois X plus 8 maintenant vous n’avez pas toujours besoin de passer par ce processus que j’ai fait ici vous vous souvenez peut-être déjà que si j’ai un plus B fois un moins B alors c’est égal à zéro. a moins B alors c’est égal à a au carré moins B au carré donc si vous voyez quelque chose qui correspond au modèle a au carré moins B au carré vous pouvez immédiatement dire oh ça va être a plus B a plus B a est X B est huit fois a moins B faisons quelques autres problèmes juste généraux je ne vous dis pas quel type ils vont être disons que nous avons X Je vais changer de couleur, ça devient monotone Disons que nous avons x au carré moins 24x plus 144 est égal à zéro Eh bien 144 c’est manifestement 12 au carré et c’est manifestement 2 fois négatif 12 ou c’est considéré comme négatif 12 au carré donc c’est négatif 12 fois négatif 12 c’est négatif 12 plus négatif 12 donc cette expression peut être ré-écrite comme X moins 12 fois X plus négatif 12.on peut réécrire cette expression comme X moins 12 fois X moins 12 ou X moins 12 au carré et on va la mettre égale à 0 ceci va être 0 quand X moins 12 est égal à 0 on pourrait dire que l’un ou l’autre pourrait être égal à 0 mais c’est la même chose on ajoute 12 aux deux côtés de l’équation et on obtient X est égal à 12 et je viens de réaliser ce problème ici je l’ai factorisé mais je n’ai pas vraiment résolu l’équation donc ceci doit être égal à 0 revenons à cette équation ici et la seule façon pour que ce truc ici soit égal à 0 c’est si X moins 8 est égal à 0 ou X plus 8 est égal à 0 donc ajoutez 8 aux deux côtés de l’équation et vous obtenez X pourrait être égal à 8 soustrayez 8 des deux côtés de l’équation et vous obtenez X pourrait aussi être égal à 8 négatif donc avec un peu de chance, faisons-en une autre juste pour que le point soit bien enfoncé dans votre tête faisons-en une autre disons que 4x au carré moins 25 est égal à 0 donc vous pouvez déjà voir le modèle c’est un a au carré c’est un a au carré c’est un B au carré nous avons le modèle de a au carré moins B au carré où dans ce cas a serait égal à 2x c’est vrai c’est 2x au carré et B serait égal à 5 donc si vous avez a au carré moins B au carré a au carré moins B au carré cela va être égal à a plus B fois a moins B dans cette situation cela signifie que 4x au carré moins 25 va être 2x plus 5 fois 2x moins 5 et bien sûr cela sera égal à 0 et ceci ne sera égal à 0 que si 2x plus 5 est égal à 0 ou 2x moins 5 est égal à zéro et ensuite on peut résoudre chacune de ces équations en soustrayant 5 des deux côtés on obtient 2x est égal à négatif 5 diviser les deux côtés par 2 on peut obtenir une solution qui est négative 5 moitiés ici ajouter 5 des deux côtés on obtient 2x est égal à positif 5 diviser les deux côtés par 2 on obtient X peut aussi être égal à positif 5 moitiés donc les deux satisfont l’équation là haut
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