Types de nombres

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Viennent ensuite les « entiers », qui sont zéro, les nombres naturels, et les négatifs des naturels:

Le type de nombre suivant est le nombre « rationnel », ou fractionnaire, qui est techniquement considéré comme des rapports (divisions) des nombres entiers. En d’autres termes, une fraction est formée en divisant un nombre entier par un autre nombre entier.

Notez que chaque nouveau type de nombre contient en lui le type précédent. Les entiers sont juste les naturels avec le zéro jeté dedans. Les entiers sont juste les entiers avec les négatifs jetés dedans. Et les fractions sont juste les entiers avec toutes leurs divisions. (N’oubliez pas que vous pouvez transformer n’importe quel nombre entier en fraction en le plaçant au-dessus du chiffre 1. Par exemple, l’entier 4 est aussi la fraction

).

Une fois que vous avez appris les fractions, il y a une autre classification majeure des nombres : ceux qui ne peuvent pas être écrits comme des fractions. Rappelez-vous que les fractions (également connues sous le nom de nombres rationnels) peuvent être écrites comme des décimales terminales (se terminant) ou répétitives ; par exemple, 0,5 =

et 0,76 = , sont des décimales terminales, tandis que 0,333333…. = et 0,538461538461… = sont des décimales répétitives. D’autre part, nous avons tous les autres nombres qui peuvent être écrits comme des décimales non répétitives et non terminales ; ces nombres ne sont pas rationnels (c’est-à-dire qu’ils ne peuvent pas être écrits comme des fractions), on les appelle donc les « irrationnels ». Des exemples seraient (« la racine carrée de deux ») ou le nombre (« 3,14159… », de la géométrie). Les rationnels et les irrationnels sont deux types de nombres totalement distincts ; il n’y a aucun chevauchement.

En réunissant ces deux grandes classifications, les rationnels et les irrationnels, en un seul ensemble, on obtient les nombres « réels ». À moins que vous n’ayez eu affaire à des nombres complexes (les nombres comportant un « i », comme 4 – 3i), alors chaque nombre que vous avez vu était un nombre « réel ». « Mais pourquoi, demandez-vous, les appelle-t-on des nombres « réels » ? Existe-t-il des nombres « fictifs » ? » Eh bien, oui, en fait, il y en a, bien qu’ils soient en fait appelés des nombres « imaginaires » ; ils sont ce qui est utilisé pour faire les nombres complexes, et « imaginaire » est ce que le « i » signifie.

La question la plus courante que j’entends concernant les types de nombres est quelque chose du genre « Est-ce qu’un nombre réel est irrationnel, ou est-ce qu’un nombre irrationnel est réel, ou aucun des deux… ou les deux ? ». À moins que vous ne connaissiez les complexes, tout ce que vous avez fait a utilisé des nombres réels. À moins que le nombre ne comporte un « i », c’est un réel.

Voici quelques questions typiques sur les nombres (en supposant que vous n’avez pas encore appris les imaginaires et les complexes):

• Vrai ou faux : Un nombre entier est aussi un nombre rationnel.

• Vrai ou faux : Un nombre rationnel est aussi un nombre entier.

• Vrai ou faux : Un nombre est soit un nombre rationnel, soit un nombre irrationnel, mais pas les deux.

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Classez selon le type de nombre ; certains nombres peuvent être de plusieurs types.

• 0,45

C’est une décimale terminale, elle peut donc être écrite comme une fraction :

. Puisque cette fraction ne se réduit pas à un nombre entier, alors ce n’est pas un entier ou un naturel. Et tout est un réel, donc la réponse est : rationnel, réel

• 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…

Vous reconnaissez probablement cela comme étant π, bien que cela puisse représenter plus de décimales que ce que vous utilisez habituellement. Le point, cependant, est que la décimale ne se répète pas, donc π est un irrationnel. Et tout (ce que vous connaissez jusqu’à présent) est un réel, donc la réponse est : irrationnel, réel

• 3,14159

Ne vous laissez pas avoir ! Oui, vous utilisez souvent quelque chose comme ça comme une approximation de π, mais ce n’est pas π ! C’est une approximation décimale arrondie, et, puisque cette approximation se termine, c’est en fait un rationnel, contrairement à π lui-même, qui est irrationnel ! La réponse est : rationnel, réel

Affilié

• 10

Evidemment, c’est un nombre à compter. Cela signifie que c’est aussi un nombre entier et un nombre entier. Selon le texte et l’enseignant (il y a une certaine incohérence), il peut aussi être compté comme un rationnel, ce qu’il est techniquement parlant. Et bien sûr, c’est aussi un réel. La réponse est : naturelle, entière, entière, rationnelle (éventuellement), réelle

C’est une fraction, donc c’est une rationnelle. C’est aussi un réel, donc la réponse est : rationnel, réel

Cela peut aussi s’écrire

, ce qui revient au même que le problème précédent. La réponse est : rationnel, réel

Votre première impulsion peut être de dire que c’est irrationnel, car c’est une racine carrée, mais remarquez que cette racine carrée se simplifie :

, qui est juste un nombre entier. La réponse est : entier, rationnel, réel

Ce nombre est déclaré une fraction, mais remarquez qu’il se réduit à -3, donc cela peut aussi compter comme un entier. La réponse est : entier (éventuellement), rationnel, réel

À l’exception de la section de votre livre où vous devez classer les nombres selon leur type, vous n’aurez vraiment pas besoin d’être terriblement familier avec cette hiérarchie. Il est plus important de savoir ce que les termes signifient lorsque vous les entendez. Par exemple, si votre professeur parle d' »entiers », vous devez savoir que ce terme désigne les nombres comptés, leurs négatifs et le zéro.

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