Differenciálszámítás
OptimalizálásSzerkesztés
Ha f egy differenciálható függvény ℝ-n (vagy egy nyitott intervallumon) és x f lokális maximuma vagy lokális minimuma, akkor f deriváltja x-nél nulla. Azokat a pontokat, ahol f'(x) = 0, kritikus pontoknak vagy stacionárius pontoknak nevezzük (és az f értékét x-nél kritikus értéknek). Ha f-ről nem feltételezzük, hogy mindenhol differenciálható, akkor azokat a pontokat, amelyekben nem differenciálható, szintén kritikus pontoknak nevezzük.
Ha f kétszer differenciálható, akkor fordítva, f x kritikus pontja elemezhető az f x-nél lévő második deriváltjának figyelembevételével :
- ha pozitív, akkor x egy helyi minimum;
- ha negatív, akkor x egy helyi maximum;
- ha nulla, akkor x lehet egy helyi minimum, egy helyi maximum, vagy egyik sem. (Például f(x) = x3-nak van egy kritikus pontja x = 0-nál, de ott nincs sem maximuma, sem minimuma, míg f(x) = ± x4-nek van egy kritikus pontja x = 0-nál, és ott van egy minimuma, illetve egy maximuma.)
Ezt nevezzük második derivált tesztnek. Egy alternatív megközelítés, amelyet első deriválási tesztnek nevezünk, a kritikus pont mindkét oldalán lévő f’ előjelét veszi figyelembe.
A deriválás és a kritikus pontok megoldása ezért gyakran egyszerű módja a lokális minimumok vagy maximumok megtalálásának, ami hasznos lehet az optimalizálásban. A szélsőérték-tétel szerint egy folytonos függvénynek egy zárt intervallumon legalább egyszer el kell érnie a minimum- és a maximumértékét. Ha a függvény differenciálható, akkor a minimumok és maximumok csak kritikus pontokban vagy végpontokban fordulhatnak elő.
Ez a grafikonrajzolásban is alkalmazható: ha egy differenciálható függvény lokális minimumát és maximumát megtaláltuk, akkor a grafikon durva ábrázolását megkaphatjuk abból a megfigyelésből, hogy a kritikus pontok között vagy növekvő vagy csökkenő lesz.
Nagyobb dimenziókban egy skalárértékű függvény kritikus pontja az a pont, ahol a gradiens nulla. A kritikus pontok elemzésére továbbra is használható a második derivált vizsgálata, ha a kritikus pontban a függvény második parciális deriváltjainak Hess-mátrixa sajátértékeit vesszük figyelembe. Ha az összes sajátérték pozitív, akkor a pont egy lokális minimum; ha az összes negatív, akkor egy lokális maximum. Ha van néhány pozitív és néhány negatív sajátérték, akkor a kritikus pontot “nyeregpontnak” nevezzük, ha pedig egyik eset sem áll fenn (azaz a sajátértékek egy része nulla), akkor a vizsgálat eredménytelennek tekinthető.
VariációszámításSzerkesztés
Egy példa az optimalizálási problémára: Keressük meg a legrövidebb görbét egy felület két pontja között, feltételezve, hogy a görbének is a felületen kell feküdnie. Ha a felület egy sík, akkor a legrövidebb görbe egy egyenes. Ha azonban a felület például tojás alakú, akkor a legrövidebb görbe nem egyértelmű azonnal. Ezeket az utakat geodéziának nevezzük, és a variációszámítás egyik legalapvetőbb problémája a geodéziák megtalálása. Egy másik példa: Keressük meg a legkisebb területű felületet kitöltő zárt görbét a térben. Ezt a felületet minimális felületnek nevezzük, és ez is megtalálható a variációszámítás segítségével.
FizikaSzerkesztés
A számításnak a fizikában alapvető jelentősége van: számos fizikai folyamatot deriváltakat tartalmazó egyenletekkel, úgynevezett differenciálegyenletekkel írunk le. A fizika különösen azzal foglalkozik, hogy a mennyiségek hogyan változnak és alakulnak az idő múlásával, és az “időbeli derivált” – az időbeli változás mértéke – fogalma számos fontos fogalom pontos meghatározásához elengedhetetlen. Különösen egy tárgy helyzetének időbeli deriváltjai jelentősek a newtoni fizikában:
- a sebesség egy tárgy elmozdulásának (az eredeti helyzettől való távolság) deriváltja (az idő függvényében)
- a gyorsulás egy tárgy sebességének deriváltja (az idő függvényében), vagyis egy tárgy helyzetének második deriváltja (az idő függvényében).
Ha például egy tárgy helyzete egy egyenesen a
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\,\!} szerint adódik.
akkor a tárgy sebessége
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
és a tárgy gyorsulása
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x”(t)=-32,\,\!}
amely állandó.
DifferenciálegyenletekSzerkesztés
A differenciálegyenlet függvények és azok deriváltjai közötti kapcsolat. A közönséges differenciálegyenlet olyan differenciálegyenlet, amely egy változó függvényeit az adott változóra vonatkozó deriváltjaikkal hozza összefüggésbe. A parciális differenciálegyenlet olyan differenciálegyenlet, amely egynél több változó függvényeit viszonyítja azok részleges deriváltjaihoz. A differenciálegyenletek a természettudományokban, a matematikai modellezésben és magában a matematikában is előfordulnak. Például Newton második törvénye, amely a gyorsulás és az erő közötti kapcsolatot írja le, felállítható közönséges differenciálegyenletként
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}.}
A hőegyenlet egy térváltozóban, amely leírja, hogyan diffundál a hő egy egyenes rúdban, a parciális differenciálegyenlet
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}.}
Itt u(x,t) a rúd hőmérséklete x pozícióban és t időpontban, α pedig egy állandó, amely attól függ, hogy milyen gyorsan diffundál a hő a rúdon keresztül.(2-3¡)-(3+2)
Középérték-tételSzerkesztés
ahol a < b {\displaystyle a<b}
van egy c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)}
ahol f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
.
A középérték-tétel kapcsolatot ad a derivált értékei és az eredeti függvény értékei között. Ha f(x) egy valós értékű függvény, a és b pedig olyan számok, amelyeknél a < b, akkor az átlagérték-tétel azt mondja ki, hogy enyhe feltételezések mellett a két pont (a, f(a)) és (b, f(b)) közötti meredekség egyenlő az f-hez tartozó érintő egyenes meredekségével egy a és b közötti c pontban. Más szóval,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
A gyakorlatban az átlagérték-tétel annyit tesz, hogy egy függvényt a deriváltja alapján ellenőriz. Tegyük fel például, hogy f deriváltja minden pontban nulla. Ez azt jelenti, hogy az érintője minden pontban vízszintes, tehát a függvénynek is vízszintesnek kell lennie. Az átlagérték-tétel bizonyítja, hogy ennek igaznak kell lennie: az f grafikonjának bármely két pontja közötti meredekségnek meg kell egyeznie az f egyik érintővonalának meredekségével. Ezek a meredekségek mindegyike nulla, tehát a grafikon egyik pontjából egy másik pontba tartó bármely egyenes meredeksége is nulla lesz. Ez azonban azt jelenti, hogy a függvény nem mozog felfelé vagy lefelé, tehát vízszintes egyenesnek kell lennie. A deriváltra vonatkozó bonyolultabb feltételek kevésbé pontos, de még mindig nagyon hasznos információkhoz vezetnek az eredeti függvényről.
Taylor-polinomok és Taylor-sorokSzerkesztés
A derivált egy adott pontban egy függvény lehető legjobb lineáris közelítését adja, de ez nagyon eltérhet az eredeti függvénytől. A közelítés javításának egyik módja a kvadratikus közelítés. Vagyis egy valós értékű f(x) függvény linearizálása az x0 pontban egy a + b(x – x0) lineáris polinom, és lehetséges, hogy jobb közelítést kapunk, ha egy a + b(x – x0) + c(x – x0)2 kvadratikus polinomot tekintünk. Még jobb lehet egy köbös polinom a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, és ez az ötlet kiterjeszthető tetszőlegesen nagyfokú polinomokra. Mindegyik ilyen polinom esetében léteznie kell az a, b, c és d együtthatóknak egy olyan lehető legjobb választásának, amely a lehető legjobb közelítést teszi lehetővé.
Az x0 szomszédságában az a esetében a lehető legjobb választás mindig f(x0), a b esetében pedig a lehető legjobb választás mindig f'(x0). A c, d és a magasabb fokú együtthatók esetében ezeket az együtthatókat f magasabb deriváltjai határozzák meg. c mindig f”(x0)/2, d pedig mindig f”'(x0)/3! legyen. Ezen együtthatók felhasználásával megkapjuk f Taylor-polinomját. A d fokú Taylor-polinom az f-et legjobban közelítő d fokú polinom, amelynek együtthatóit a fenti képletek általánosításával találhatjuk meg. A Taylor-tétel pontos korlátot ad arra, hogy mennyire jó a közelítés. Ha f egy d-nél kisebb vagy azzal egyenlő fokú polinom, akkor a d fokú Taylor-polinom megegyezik f-fel.
A Taylor-polinomok határértéke egy végtelen sorozat, az úgynevezett Taylor-sorozat. A Taylor-sorozat gyakran nagyon jó közelítése az eredeti függvénynek. Azokat a függvényeket, amelyek megegyeznek a Taylor-sorozatukkal, analitikus függvényeknek nevezzük. Lehetetlen, hogy a szakadásokkal vagy éles sarkokkal rendelkező függvények analitikusak legyenek; sőt, léteznek olyan sima függvények, amelyek szintén nem analitikusak.
Implicit függvénytételSzerkesztés
Némely természetes geometriai alakzat, például a kör, nem rajzolható függvény grafikonjaként. Például, ha f(x, y) = x2 + y2 – 1, akkor a kör az összes olyan (x, y) pár halmaza, hogy f(x, y) = 0. Ezt a halmazt f nullhalmazának nevezzük, és nem azonos f grafikonjával, ami egy paraboloid. Az implicit függvénytétel az olyan összefüggéseket, mint f(x, y) = 0, függvényekké alakítja. Azt állítja, hogy ha f folytonosan differenciálható, akkor a legtöbb pont körül az f zérushalmaza úgy néz ki, mint az egymásba illesztett függvények gráfjai. Azokat a pontokat, ahol ez nem igaz, az f deriváltjára vonatkozó feltétel határozza meg. A kör például a két ± √1 – x2 függvény grafikonjából ragasztható össze. A kör minden pontjának szomszédságában, kivéve a (-1, 0) és (1, 0) pontokat, e két függvény valamelyikének grafikonja olyan, mint a kör. (Ez a két függvény történetesen találkozik (-1, 0) és (1, 0) pontokkal is, de ezt az implicit függvénytétel nem garantálja.)
Az implicit függvénytétel szorosan kapcsolódik az inverz függvénytételhez, amely kimondja, hogy mikor néz ki egy függvény úgy, mint inverz függvények egymásba illesztett gráfjai.