Reddit – matek – Milyen magasra megy a matek? És melyek a mateknál magasabb területek?
A többváltozós számtan és a lineáris algebra után felveheted a Bevezető analízis című sorozatot, ami a számtan szigorú megalapozásáról szól, és ami bevezet a differenciálformák nyelvébe, hogy a vektorszámítás tételei háromnál több dimenzióra általánosíthatók legyenek.
Ezután elvégezheted a Reálanalízis című órát, amely a mértékelmélettel kezdődik, és azzal foglalkozik, hogyan általánosíthatod az integrálást egy valós változó szokatlan és látszólag kóros függvényeire, és célszerű előtte vagy ezzel párhuzamosan az Általános topológia; ez tartalmazhat anyagot a függvények teréről is, amely a következő óra tárgya.
Azután felveheted a Funkcionálanalízist, ami alapvetően azokról a kérdésekről szól, amelyek akkor merülnek fel, amikor lineáris algebrát végzel végtelen dimenziós vektortereken; a komplex analízis ismerete is tanácsos, mert valami spektrálelméletnek nevezett dolog miatt, ami megmondja, hogy mikor vehetsz egy kifejezést, ami jól működik komplex differenciálható függvényként, és helyettesítheted a változót egy lineáris operátorral. (Ehhez fel kell idézned a Cayley-Hamilton-tételt a lineáris algebrából, ahol megtanultad, hogy ha egy négyzetes mátrix karakterisztikus polinomját kibontod, majd a változót behelyettesíted a mátrixszal, akkor nullmátrixot kapsz.)
Ezek után valószínűleg olyan témakurzusokat vennél olyan dolgokból, mint az operátorelmélet és a C*-algebrák elmélete, amelyek ráadásul megkövetelik az absztrakt algebra graduális szintű megértését; mire eljutsz erre a szintre, már bejutsz a doktori iskolába, és részt veszel egy ilyen órán, ami egy általános elsőéves követelmény.
Ez csak egy kísérlet volt arra, hogy megtaláljuk a “matematikai utat előre” a Calculusból; vannak mások is:
A többváltozós integrálás fejlesztése a Bevezető analízisben sok mély geometriai tartalommal bír, ugyanúgy, ahogy a Calculus III-nak is sok látszólag véletlenszerű geometriai tartalma van; az előző út végső soron a deriváltnak a végtelen dimenziós vektortereken lévő függvényekre való általánosításáról szólt, de ez az út a sokaságokra való általánosításáról szól, amelyek lokálisan véges dimenziós euklideszi térnek látszanak.
Most a Calculus III után bepillantást nyerhetsz ebbe a görbék és felületek differenciálgeometriájáról szóló alapfokú órával, de a komolyabb dolgok, amelyek a magasabb dimenziós sokaságokra vonatkoznak, a végzősök szintjén vannak, kezdve a Riemann-geometriával és folytatva a Semi-Riemann-geometriával (valójában szinte minden olyan végzős szintű óra, amelynek a nevében szerepel a “Geometria”, kivéve az ominózus “Algebraic Geometry”, ebbe az irányba mutat). Ez idő tájt érdemes lehet felvenni az Általános topológiát és a Differenciál topológiát, de az előbbi amúgy is általános követelmény lesz.
Ha ismered a Semi-Riemann-féle geometriát, akkor érdemes lehet konkrétan az általános relativitáselmélet Lorentz-féle sokaságairól tanulni; ami a szuperhúrelmélet Calabi-Yau sokaságait illeti, azokat legjobban az Algebrai geometrián keresztül lehet megérteni, és ahogy majd a matematika során megtanulod, maga a matematikai tudás nem annyira silózott, mint azt a kurzusválasztás elhiteti veled.
Ha a Calculus II. problémamegoldó aspektusai érdekelnek inkább, akkor erre nem igazán van sok lehetőség, bár az egyetemi szintű Bevezetés a differenciálegyenletekbe és a Parciális differenciálegyenletek számos trükközést tartalmaznak, akárcsak egy pár, nem egészen a Calculusból vagy egymásból következő tárgy, az úgynevezett Diszkrét matematika és a Bevezető számelmélet (az előbbi többek között bevezetés a matematika két csodálatos és rendkívül számításigényes területébe, a Gráfelméletbe és a Kombinatorikába; tartalmaz egy szép bevezetést a logikába és a halmazelméletbe is, és az egyetemeken gyakran szolgál Bevezetés a bizonyítás-írásba óraként).
A differenciálegyenletekből ezen a szinten túl is vannak órák, de ezek többsége arról szól, hogyan lehet bizonyítani, hogy az egyenleteknek valóban vannak megoldásai, és hogyan viselkednének, de nem annyira a konkrét egyenletek zárt alakú vagy sorozatos megoldásairól (és a PDE-k magas szintű tanulmányozásához alapvetően Funkcionálanalízisre és az összes kemény tanulásra van szükség, ami addig a pontig tart); van némi szinergia a numerikus analízissel, a numerikus közelítési módszerek tanulmányozásával, ami sokkal fontosabb, mint elsőre gondolnád (lehet, hogy elsőre lesöpörnéd a középponti szabályt, a Newton-módszert és az előremenő Euler-módszert, de ezek ott működnek, ahol zárt alakú megoldások nem találhatók, és a numerikus módszerek még kifinomultabbá válnak).
Mivel a valószínűségszámítás és a statisztika olyan fogalmakra épül, mint az átlag és a terület, a számtan és a mértékelmélet kifinomultabb megfogalmazásaira lehet alapozni; alapvetően az első sorozat bármelyik kitérője egészen a kezdő diplomás szintig felhasználható a statisztika egyre komolyabb tanulmányozásának megkezdésére.
Az analízis igényei voltak az elsődleges motiváló tényező a halmazelmélet mögött, és bár a többi bizonyításalapú matematikaórán eleget tanulsz belőle ahhoz, hogy boldogulj (és folyamatosan újra és újra átlapozd), ez még mindig egy gyümölcsöző kutatási terület.
Technikailag még számtanra vagy lineáris algebrára sincs szükséged ahhoz, hogy megtanulj absztrakt algebrát, de segít, ha előtte megvan a “matematikai érettségi” egy Lineáris algebra órán.
Az absztrakt algebra áll az Algebrai geometria (alapvetően az egynél több változóban szereplő polinomiális egyenletek megoldáshalmazainak tanulmányozása), az Algebrai topológia (a topológiai terek osztályozására szolgáló algebrai invariánsok tanulmányozása) és meglepően sok olyan dolog mögött, amit számítással lehet segíteni (még egy szoftvercsomag is van csak a kommutatív algebrára, a CoCoA).
Ez áll az Algebrai számelmélet mögött is, amely a matematika meglepően sok területéről merít, ahogy a számelmélet másik nagy ága, az Analitikus számelmélet is (a komplex analízis itt határozott előfeltétel); nem is gondolnánk az elején, hogy a természetes számok tanulmányozásához a matematika szinte teljes többi részét be kell vonni.
Oh, ahogy az Analízis volt a fő mozgatórugója a halmazelméletnek, úgy az Algebra volt a fő mozgatórugója a kategóriaelméletnek; bár nem teljesen különállóak, mert a csoportokat és a gyűrűket úgy írják le, mint “halmazok a…”, és határozottan vannak kategóriaelméleti meglátások az Analízis struktúráiban.
Ez még csak nem is volt különösebben alapos beszámoló, de elég, ha annyit mondok, hogy a matematika területei nincsenek teljesen rendezettek a nehézségi szintjük vagy aszerint, hogy egy diáknak hogyan kell megtanulnia őket; még csak nem is fába, hanem inkább digráfba rendeződnek. (A “teljesen rendezett”, “fa” és “digráf” fogalmakkal is a Diszkrét matematikában foglalkoznánk.)
A sorrend, amelyben egy diák a legkönnyebben megtanulná a matematikát, gyakran eltér attól a logikai sorrendtől, amelyben a tudás felépül; különösen a matematika alapjaival foglalkozó dedikált kurzusok a végzősök szintjén vannak, de előtte lehet úgy dolgozni, mintha az alapok szilárdak lennének.
Mégis, ha egy problémamegoldó technikára van szükség egy bizonyos órán, akkor azt az órát azután az óra után kell felvenni, amelyben a technikát tanítják, ezért van az, hogy a komplex változók első kurzusához legalább a Calculus III-ra szükség van, ahol először a vonalintegrálokat tárgyalják
.