Tényezőtétel

Tényezőtétel

Kapcsolódó oldalak
Tényezőtétel
Kubikus egyenletek megoldása
Tényező és tényező Tételek
Még több algebra lecke

Remainder-tétel és tényezőtétel

Mi a tényezőtétel?

Ha f(x) osztva van (x – a)-val, kapjuk
f(x) = (x – a)Q(x) + maradék

A maradéktételből kapjuk
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)

Ha f(a) = 0, akkor a maradék 0, és
f(x) = (x – a)Q(x)

Ezután azt mondhatjuk, hogy
f(x) = (x – a)Q(x)

. (x – a) f(x)

A Faktor-tétel azt állítja, hogy
(x – a) akkor és csak akkor f(x) polinom tényezője, ha f(a) = 0

Megjegyezzük, hogy a következő állítások bármely f(x) polinomra egyenértékűek.

• (x – a) f(x) tényezője.
• A maradék nulla, ha f(x) osztjuk (x – a)-val.
• f(a) = 0.
• A f(x) = 0 megoldása a.
• A f(x) függvény zérusa a.

Példa:
Meghatározzuk, hogy x + 1 tényezője-e az alábbi polinomoknak.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4

megoldás:
a) Legyen f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Ezért, x + 1 f(x)

b) Legyen g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Ezért x + 1 nem tényezője g(x)

Hogyan használjuk a tényezőtételt és a maradéktételt?

Mik ezek a tételek, és hogyan használhatjuk őket egy polinom lineáris faktorizációjának megtalálására?

A maradéktétel kimondja, hogy ha egy f(x) nevű polinomot elosztunk x – k-val, akkor a maradék egyenlő f(k)-val.

A tényezőtétel kimondja, hogy az x – k polinom akkor és csak akkor f(x) polinom tényezője, ha f(k) = 0.

Példa:
Legyen f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Az x – 1 faktor?
Keresd meg az összes többi faktort.

• Videólecke megjelenítése

Hogyan használjuk a faktortételt polinomok faktorozására?

Példák:

1. Tényező P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8

2. Tényező P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12

• Videólecke megjelenítése

Hogyan találjuk meg egy polinom maradék tényezőit?

Egy lecke a tényezőtételről és egy polinom teljes faktorálásáról.

1. A faktor-tétel és a maradéktétel közötti kapcsolat megismerése.
2. Megtanuljuk, hogyan használhatjuk a faktor-tételt annak megállapítására, hogy egy binomiális egy adott polinom foka-e vagy sem.
3. A szintetikus osztás használata a faktor-tétellel együtt segít egy polinom faktorozásában.

Példa:
Teljesen faktorálja x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18

• Videólecke megjelenítése

A faktor-tétel alkalmazása

Hogyan használjuk a faktor-tételt annak meghatározására, hogy x – c az f polinom tényezője-e?

Példák:

1. f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
2. f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
3. f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
4. f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
5. f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2

• Videólecke megjelenítése

Hogyan magyarázzuk a tényezőtételt?

Ha f(x) egy polinom és f(p) = 0 akkor (x – p) f(x)

Ha f(x) egy polinom és f(-q) = 0 akkor (x + q) f(x)

• Videólecke megjelenítése

A tényezőtétel leírása és példái

Példák:
Bizonyítsuk be, hogy (x + 1) a P(x) = x2 + 2x + 1 tényezője

(x + 2) az x3 + 4×2 – x – 3 tényezője?

• Videólecke megjelenítése

Kipróbáld az alábbi ingyenes Mathway számológépet és feladatmegoldót a különböző matematikai témák gyakorlásához. Próbáld ki a megadott példákat, vagy írd be a saját problémádat, és ellenőrizd a válaszodat a lépésről-lépésre történő magyarázatokkal.