Valószínűség Bevezetés: Cikkek és videók megoldásokkal!

admin 0 Comments Articles

Valószínűség Bevezetés: Cikkek és videók megoldásokkal!

Kockadobás, parkolóhely megtalálása, kártyanyeremény; Ez csak néhány olyan helyzet, amikor egy esemény bekövetkezésének esélyét szeretnénk megtudni. Ha tudni akarod, hogyan találd meg a valószínűséget, először is ki kell találnod, hogy milyen kérdésed van. Például az, hogy hogyan találod meg egy esemény bekövetkezésének az esélyét, különbözik attól, hogy megkeresed annak az esélyét, hogy a csoport tagjai ugyanazt a dolgot választják.

Egyes valószínűségeket könnyű meghatározni, mint például a kockadobás vagy a kártyapakliból való választás valószínűségének megtalálása.

A binomiális tételt tartalmazó kérdések szintén könnyen azonosíthatók. Az ilyen típusú kísérletekben egy esemény egyetlen lehetséges kimenetele a “Siker” vagy a “Kudarc”: például igen/nem, fej/farok vagy fekete/fehér.

A többi kérdéstípus, amellyel találkozhatsz, emberekkel kapcsolatos, például:

• Egy személy kiválasztása egy csoportból vagy bizottságból.
• Az azonos dolgot választó csoport valószínűsége.

Események

Egy egyszerű esemény bekövetkezésének valószínűségét szeretnéd megtalálni? Például hogy esik az eső, vagy hogy találsz egy parkolóhelyet a belvárosban? Lásd:
Egy egyszerű esemény bekövetkezésének valószínűsége.
Ha viszont pont az ellenkezőjét akarod, lásd:
Hogyan derítsük ki egy esemény NEM bekövetkezésének valószínűségét.

A kérdésed egy esemény bekövetkezésére vonatkozik egy másik esemény bekövetkezése esetén? Mint például annak az esélye, hogy találsz egy parkolóhelyet, tekintve, hogy játéknap van, vagy hogy találsz egy bizonyos népszerű játékot a fekete pénteken? Ha igen, akkor nézd meg:

• Egy esemény esélye, egy másik eseményt figyelembe véve.
• Két esemény együttes előfordulása.

Egy gyakorisági eloszlási táblázat.

Sokasági eloszlások

Sokasági eloszlással kell dolgoznia? Vagy tudsz gyakorisági eloszlási táblázatot készíteni a megadott adatokból? Például van x darab bizonyos tulajdonságú tételed. Valószínűségi gyakorisági eloszlás.

Bevezetés a valószínűségszámításba: oktatócikkek és videók.

1. Permutációk és kombinációk: How to Solve Problems
2. Probability Problems:
3. A és b valószínűsége.
4. Teljes valószínűségi szabály.
5. Bayes tétel feladatai: Easy Solution Steps.
6. Prior Probability (including Uninformative and Conjugate).
7. How to Make a Probability Distribution from data.
8. How to find the Probability of Selecting a Person from a Group or Committee.
9. Hogyan találjuk meg egy esemény NEM bekövetkezésének valószínűségét.
10. Valószínűségi gyakorisági eloszlás.
11. Hogyan találjuk meg egy egyszerű esemény bekövetkezésének valószínűségét.
12. Véletlen esemény: Valószínűség adott százalékban.
13. Hogyan találjuk meg annak valószínűségét, hogy a csoport tagjai ugyanazt a dolgot választják.
14. Hogyan találjuk meg két függő esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét.
15. Hogyan találjuk meg egy esemény bekövetkezésének valószínűségét egy másik esemény esetén.
16. Hogyan használjunk valószínűségi fát (döntési fát) az esélyek kiszámításához.
17. Hogyan találjuk meg egy kártya pakliból való kihúzásának valószínűségét.
18. Hogyan találjuk meg, hogy valami kölcsönösen kizáró esemény-e.
19. Hogyan különböztessük meg a függő és független eseményeket.
20. Probability: Dice Rolling.
21. How to Draw a Venn diagram.
22. How to Create an Euler Diagram.
23. 5 choose 3: how to solve combinations.
24. How to use the fundamental counting principle.
25. How to find expected value for a discrete random variable.

Introduction to Probability: Definíciók

• Axiomatikus valószínűség.
• Benford törvénye
• Mi a binomiális kísérlet?
• A bázisráták és a bázisráta tévedés
• Brier pontszámok
• Kollektív kimerítő
• Mi a kombinációk?
• Kiegészítő események.
• Feltételes várakozás
• Mi a feltételes relatív gyakoriság?
• Megszámlálható additivitás
• Üres halmaz
• Episztemikus valószínűség
• Eseményterek.
• Mi a kísérleti valószínűség?
• Közös valószínűségi eloszlások.
• Határeloszlás.
• Maximum Likelihood becslés
• Memóriamentes tulajdonság.
• Monte Carlo módszer.
• Monty Hall probléma
• Mi az egymást kizáró esemény?
• Mi az egymást kizáró esemény?
• Kölcsönösen független és párosan független.
• Mi a szorzási szabály?
• Nash-egyensúly
• Nem üres halmaz
• Normál valószínűségi gyakorlati feladatok.
• Mi a normál valószínűségi ábra?
• Objektív valószínűség
• Mi az esélyhányados?
• Prediktív analitika
• Mi a valószínűségi eloszlási táblázat?
• Valószínűségi mérték
• Mi a valószínűségi tér?
• Valószínűségi vektorok
• Mik a mintaterek?
• Sztochasztikus modellek.
• Mi a szubjektív valószínűség?
• Mi az elméleti valószínűség?
• Mi az urnamodell?

Kalkulátorok.

• Online permutációs és kombinációs kalkulátor.

Valószínűségi képletek / valószínűségi szabályok

A valószínűségszámításban és a statisztikában az egyik legkellemetlenebb dolog, amit a diákok nem szeretnek a képletekkel kapcsolatban. Van néhány kapocs, köztük néhány kötelezően megismerendő jelölés:

Valószínűségi tartomány
0 ≤ P(A) ≤ 1
Ez azt mondja ki, hogy egy esemény valószínűsége valahol nulla és 100% között van (tizedesjegyként ez 0 és 1). Ezt a szabályt érdemes megjegyezni, amikor események valószínűségeit összeadod vagy megszorozod. Ha a válaszod 100% fölött van, az arra utal, hogy valamit rosszul csináltál.

A komplementer események szabálya
P(AC) + P(A) = 1
A komplementer események akkor következnek be, amikor csak két kimenetel van, például amikor feldobunk egy érmét. A kockadobás, hogy megtudjuk, kapunk-e hatost, szintén komplementer esemény; az egyetlen két kimenetel az, hogy hatost kapunk (1/6 esély) vagy nem kapunk hatost (5/6 esély). A két valószínűségnek össze kell adódnia 1-re.
Láthatjuk ezt a képletet így is leírva:
p(A) + p(A’) = 1
mely algebrailag átrendezve így hangzik:
p(A’) = 1 – p(A).
Mindhárom képlet egyenértékű: hogy melyik terminológiát (A’ vagy Ac) használjuk, az a tankönyv szerzőjétől és tanárától függ. Én személy szerint az A’-t részesítem előnyben, amit én “nem A”-nak nevezek. A “nem A” valószínűsége szerintem könnyebben érthető, mint a “komplementer” (vagy megtörténik egy esemény, vagy nem történik meg).

Adódási szabály
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
ahol ∪ az unió és ∩ a metszet.
Mit mond ez (magyarul!), hogy az A esemény VAGY a B esemény bekövetkezésének (vagy mindkettő egyidejű bekövetkezésének) valószínűsége:

• Az A esemény önmagában való bekövetkezésének valószínűsége,
• Plusz a B esemény önmagában való bekövetkezésének valószínűsége,
• Plusz a két esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűsége.

Ha egymást kizáró események vannak, akkor P(A∩B) nem történhet meg (az események nem történhetnek meg együtt), így a képlet a következő lesz:
P(A∪B) = P(A)+P(B)- 0 = P(A)+P(B)

Disjunkt események
A és B események disjunktek, ha:
P(A∩B) = 0
Ez csak egy másik módja annak, hogy az események kölcsönösen kizárják egymást. Nem történhetnek egyszerre.

A kapcsolódó képlet a P((A∪B)c) vagy egyenértékűen ((A∪B)’). Magyarul ez azt jelenti, hogy “nem az unió”. Ennek megoldásához számold ki az egyesülést, és az eredményt vedd el 1-től (mert az események bekövetkezésének vagy meg nem bekövetkezésének valószínűségének össze kell adódnia 1-re).

Feltételes valószínűség
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
A “|” jel azt jelenti, hogy “feltéve, hogy”. Más szóval annak a valószínűsége, hogy a B esemény bekövetkezik, feltéve, hogy az A esemény bekövetkezik. Példákat a képlet használatára lásd: Feltételes valószínűség.

Bayes-képlet
P(A|B) = P(B|A) – P(A) / P(B)
A feltételes valószínűség kiszámításának egyik módja a Bayes-tétel, bár kissé árnyaltabb. Dióhéjban megadja egy esemény tényleges valószínűségét a tesztekre vonatkozó információk ismeretében. Például mekkora a valószínűsége annak, hogy rákos vagy, ha az orvosi teszted pozitív (válasz = sokkal kisebb, mint gondolnád). Néhány példát lásd: Bayes-tétel példái és Posterior eloszlások / Posterior valószínűségek.

Független események
A és B esemény független, ha az egyik nem befolyásolja a másik valószínűségét. Az eseményeket akkor is függetlennek mondjuk, ha a következő egyenlet igaz.
P(A∩B) = P(A) – P(B).
Ez az egyenlet a szorzási szabályból származik, amely szerint P(A∩B) = P(A) * P(B|A). Mivel tudjuk, hogy független események esetén P(B|A) = P(B), P(B|A) helyettesíthető P(B)-vel, így megkapjuk a képletet.

Néhány megjegyzés a valószínűségi szabályokról

A statisztika a véletlenről és a becslésről szól, nem az abszolútumokról és a “helyes válaszról”. Csak nézz utána bármelyik Gallup-felmérésnek – ritkán vannak 90%-nál biztosabbak abban, hogy megvan a “helyes válasz”. Vannak technikák, amelyekkel kiszámíthatod az esélyeket (például két valószínűséget összeszorozhatsz, vagy összeadhatod őket). Azonban a binomiális eloszlási táblázaton és a fenti képleteken kívül (amelyeket a való életben nem nagyon használnak) nincsenek olyan valószínűségi képletek, amelyeket könnyen alkalmazhatnál. Vissza kell térned ahhoz a régi általános iskolai alapelemhez, a logikához (emlékszel rá… ott volt, mielőtt elkezdték a logika szabványosított tesztelését).

A valószínűségi képletek három szabálya:

1. Nincsenek szabályok (vagyis nagyon kevés, kivéve a fent felsoroltakat).
2. Logikát használj, ne egyenleteket.
3. Sok-sok különböző módon juthatsz el a válaszhoz – ezek közül egyik sem igazán használ képleteket.

Itt egy kérdés, ami ma reggel érkezett a postaládámba, és a valószínűségekkel foglalkozik:

“Ha megpróbálnál 6 baseballkártyát gyűjteni, amelyek sajtos puffancs csomagban vannak, feltételezve, hogy egyenletesen vannak elosztva, hány csomag sajtos puffancsot kellene venned, mielőtt mind a 6 kártyát megkapod?”

A feladat megoldásának első lépése, hogy rájössz, hogy a választ nem tudod megnézni egy táblázatban. A megoldáshoz úgy kell gondolkodnod, mint egy gyerek.

1. kártya:Megint 8 éves vagy, és besétálsz egy boltba, ahol van elég pénzed, hogy vegyél egy zacskó sajtos puffancsot. Reméled, hogy mind az 5 baseballkártyát összegyűjtheted, de még nincs egy sem. Mennyi az esélye, hogy veszel egy zacskót, és kapsz egy olyan kártyát, amit szeretnél?

A válasz természetesen 100%. Vedd meg az első zsákodat, és 100% esélyed van rá, hogy olyan kártya lesz benne, amit szeretnél.

Kettes számú kártya: Most egy kicsit trükkösebb lesz a dolog. Visszatérsz a boltba, hogy megszerezd a 2. kártyát. De mivel már megkaptad az #1-es kártyát, Mickey Mantle-t. Nem akarod őt újra, de 1/5 esély van rá, hogy megkapod (és ezért 4/5 esély van rá, hogy nem kapod meg). Arányproblémává válik, hogy hány zacskó sajtos puffancsot kell venned ahhoz, hogy megszerezd a 2-es kártyát. Kitalálhatod fejben, de ha matematikailag akarod modellezni, akkor fel kell állítanod az egyenletet. Ha egy zacskó sajtos puffancs 80%-os esélyt ad a kívánt kártya megszerzésére, hány zacskót kell venned ahhoz, hogy 100%-os esélyt kapj?

A 100% eléréséhez 1,25 zacskót kell venned.

3. kártya:Az esélyek egyre nehezebbé válnak. A harmadik baseballkártya megszerzésének esélye 60%, és a harmadik kártya megszerzéséhez 1,667 zsákot kell vásárolnod.

4. kártya:Az esélyek kezdenek kissé lehangolóvá válni. A negyedik baseballkártya megszerzésének esélye 40%, és a harmadik kártyához 2,5 zacskót kell vásárolnod.

5. kártya:Az esélyek ellened szólnak. 20% esélyed van arra, hogy megkapod az utolsó kártyát, és 5 zacskót kell venned ahhoz, hogy megszerezd a harmadik kártyát.

Az összes zacskó, amit meg kell venned, egyenlő:
1 + 1,25 + 1,667 + 2,5 + 5
De várj! (És itt jön a képbe egy kis logika). Nem mehetsz be egy boltba, és nem vehetsz 1,25 zacskó sajtos puffancsot, ezért felfelé kell kerekítened. Az egyenlet így lesz:
1 + 2 + 2 + 3 + 5 = 13 zacskó.

Egy fontos pont a képletekkel kapcsolatban: ne feledd, hogy semmi sem abszolút. Meglehetősen biztos vagyok benne, hogy ha 13 zacskó sajtos puffancsot vásárolnál, és feltételezve, hogy a kártyák egyenletesen oszlanak el, mind az 5 kártyát megkapnád. De… a valószínűség a véletlenről szól, és lehet, hogy csak a balszerencséd, hogy 10-szer egymás után ugyanazt a kártyát kapod (emlékszem, hogy gyerekkoromban ez történt velem). De lehet egy másik magyarázat is a “balszerencsédre”, mégpedig az, hogy a cégek azt akarják, hogy minél több zacskót vegyél, ezért megpróbálják az esélyeket a javukra fordítani. Még ha a kártyák egyenletesen vannak is elosztva, a cég az #1, #2 és #3 kártyákat tartalmazó zsákokat elküldheti az egyik boltba (így becsalogatva téged azzal, hogy a kártyák több mint felét összegyűjtöd), a #4 és #5 kártyákat pedig egy másik boltba.

Milyen más módot tud még elképzelni arra, hogy a gyártók a maguk javára fordítsák az esélyeket?

Az egy csoport azonos dolgot választásának valószínűsége

A valószínűségi kérdések különböző típusokra bonthatók. Amikor azt kérik, hogy találd meg annak a valószínűségét, hogy egy csoport ugyanazt a dolgot választja, akkor egy csoport (ez lehet olyan kicsi, mint egy bizottság, vagy lehet olyan nagy, mint az Egyesült Államok lakossága) véletlenszerű tagjainak cselekedeteit veszed figyelembe.
Ezek a valószínűségi kérdések egy csoportot adnak meg, és arra kérnek, hogy számítsd ki egy esemény bekövetkezésének valószínűségét a csoporton belül bizonyos számú véletlenszerű tag esetében.

Az azonos dolgot választó csoport valószínűsége : Lépések

Mintaprobléma: Egy könyvvásáron 200 ember vesz részt. Közülük 159-en legalább egy könyvet megvesznek. Ha megkérdezünk 5 véletlenszerűen kilépő embert, mekkora a valószínűsége annak, hogy mindannyian legalább egy könyvet vásároltak?

Mi a valószínűsége annak, hogy egy csoport legalább egy könyvet vásárol?

1. lépés: A kérdésben szereplő adatokat alakítsuk át törtre. Például a “159 ember 200-ból” kifejezés átalakítható a következőre: “159 ember 200-ból”: 159/200.

2. lépés: Szorozza meg a törtet önmagával. Ismételje ezt meg, ahány véletlenszerű elemet (azaz embert) választ ki. Példánkban 5 embert kérdeztek meg, tehát:

159/200 x 159/200 x 159/200 x 159/200 x 159/200 x 159/200 x 159/200 = 0,3176
Így találjuk meg annak a valószínűségét, hogy egy csoport ugyanazt a dolgot választja!

Tipp: Könnyebb lehet, ha a szorzás előtt a törtet decimálisra alakítjuk. Ebben az esetben 159/200 = 0,795.

Nézd meg YouTube csatornánkat további statisztikai segítségért és tippekért! A leggyakoribb problémákra, amelyekkel valószínűleg találkozni fogsz, videókat találsz. Plusz videók az Excel használatához a statisztikában > az alapvető oszlopdiagramok készítésétől az összetett adatelemzési problémák megoldásáig.

——————————————————————————

Segítségre van szüksége egy házi feladathoz vagy tesztkérdéshez? A Chegg Study segítségével lépésről lépésre megoldásokat kaphat kérdéseire a terület szakértőjétől. Az első 30 perc egy Chegg oktatóval ingyenes!