因数分解で二次方程式を解く（旧）
因数分解で二次方程式を解こう xの二乗＋4xは21になる さて、あなたの衝動は、因数分解しようとするかもしれません。 Xを切り出して、それをどうにかして21と等しくするのですが、これでは良い解決策にはなりません。この式の両辺から21を引くと、左辺はxの2乗+4x-21となり、右辺は、xの2乗+4x-21となる。これは二次方程式で、二次式が0になるのですが、これを解くには、因数分解して、それぞれの因数が0になるようにします。 積がマイナス21で和が4になる2つの数、つまりaプラスbは積がマイナスなので4となり、符号が異なるはずです。 7とマイナス3なので、AとBはプラス7とマイナス3で、積を取るとマイナス21になり、和を取るとプラス4になるので、この方程式をここで書き直すと、Xプラス7×Xマイナス3は0に等しいと書き直せるので、これを解くには、2つの量があってその積が0と言うことは、どちらか一方は この式の両辺から7を引くとXはマイナス7になり、この式の両辺に3を足すとXは3になる、つまりこの2つの数値はどちらも解になる。 この方程式を試してみてください 7 7のマイナス7乗は49 49のマイナス7乗はマイナス28またはマイナス28です これは確かに21と同じです プラス3でも試してみましょう 3乗は9プラス4乗は12 9プラス12は確かに21です もっとたくさんの例をしてみましょう xの2乗があるとします。 プラス49は14xに等しい もう一度このようなことがあったら、すべての項を片側に寄せて、もう片側で0を得るのが二次方程式を解く最善の方法なので、両側から14xを引いてみよう xの二乗マイナス14xプラス49は0に等しいと書けるだろう 14xマイナス14xは 0 この量から14xを引いたものがこの量だ さて、どのような2つの数字があるか考えてみよう 積を取ると49になり、和を取るとマイナス14になる だから、1つは同じ符号でなければならない これはここで正の数だから両方ともマイナスになる なぜなら和がマイナスだからだ 49は完全な正方形で、その因子は7と49だから、7がうまくいくか、あるいはマイナス7がうまくいくかもしれない。 Xマイナス7をXマイナス7で割ると0になることを忘れないでください。 両辺の平方根を求めるとXマイナス7は0になる つまりXマイナス7は0またはXマイナス7は0と言えるが冗長になるのでXマイナス7は0になる両辺に7を足すとXは7になる 一つの答えしかないもう一つやってみよう ピンクでもう一つやってみよう ピンクでもう一つやってみよう xの2乗マイナス64はゼロに等しい さて、これは面白そうだ。すでに、これをどう解くか、頭の中でベルが鳴っているかもしれない。 2つの数字を掛け合わせると64になり、足すと0になる。そして、その積を取ると負の数になる。これはa×Bで負の数だから、符号が逆ということになる。つまり、足すと0になるということは aプラスマイナスBはゼロに等しいか、aはBに等しいということです。私たちは同じ数を扱っているのです。私たちが本質的に扱っているのは、お互いのマイナスなのです。 はちょうど8の2乗ですが、それは負の64なので、おそらく私たちは1つの負の8と1つの正の8を扱っているのです。 マイナスBはaの2乗マイナスBの2乗に等しいので、aの2乗マイナスBの2乗というパターンに当てはまるものがあれば、ああこれはaプラスBになるんだな、とすぐにわかります。 色合いを変えてみよう。単調になってきた。例えば、xの2乗から24xを引いたものに144を足したものはゼロに等しい。Xマイナス12×Xマイナス12またはXマイナス12の2乗と書き、これを0とします Xマイナス12が0のとき、これは0になります どちらが0になるとも言えますが、同じことです この方程式の両辺に12を加えれば、Xは12になります 今この問題に気づきました 因数分解しましたが実際に方程式を解いていないのでこれは0になるはずです この方程式に戻って一歩踏み込んでみましょう ここにあるものが0になる唯一の方法は、Xマイナス8が0に等しいか、Xプラス8が0に等しい場合です。ですから、この両辺に8を足せばXは8に等しくなり、この両辺から8を引けばXもマイナス8に等しくなります。できればもう一つやって、ポイントを頭に叩き込んでおきましょう。4x二乗マイナス25が0に等しいとします。 この場合、aは2xの2乗に等しく、Bは5に等しいので、aの2乗マイナスBの2乗aの2乗マイナスBの2乗は、aのプラスBのマイナスB倍に等しくなるのですが、この場合、4×2乗マイナス25は、2xプラス5の2xマイナス5となり、もちろんこれは1に等しいことになります。 0になるのは、2xプラス5が0になるか、2xマイナス5が0になるかのどちらかの場合です。