角加速度
二次元の粒子編集
二次元において、軌道角加速度は原点を中心とした粒子の二次元軌道角速度が変化する割合のことである。 任意の時点の瞬間角速度ωは
ω = v ⊥ r {displaystyle \{frac {v_{perp }}{r}}} で与えられます。
,
where r {displaystyle r}.
は原点からの距離、v ⊥ {displaystyle v_{perp }} {displaystyle v_{perp }} {displaystyle v_{perp }} は原点からの距離。
は瞬時速度の交差径方向成分（つまり位置ベクトルに垂直な成分）で、慣例により反時計回りの運動では正、時計回りの運動では負になる。
したがって、粒子の瞬時角加速度αは
α = d d t ( v ⊥ r ) {displaystyle \alpha ={frac {d}{dt}} ({frac {v_{perp }}{r}})} } で与えられる。
.
微分積分学の積の法則を使って右辺を展開する。 となり、
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ 2 r d t {displaystyle α ={frac {1}{r}}{dv_{perp }}-{hrac {v_{perp }}{r^{2}}}{hrac {dr}{dt}}}} となる。
.
原点を中心とした円運動をする場合、 d v ⊥ d t {displaystyle {dv_{perp }}{dt}} が得られる。
は単なる接線加速度 a ⊥ {displaystyle a_{perp }} となる。
, d r d t {displaystyle {}frac {dr}{dt}}} , となります。
は消失するので、上式は α = a ⊥ r {displaystyle \alpha ={frac {a_{perp }}{r}}} に簡略化されます。
.
2次元では、角加速度はプラスまたはマイナスの符号で方向を示す数値であり、方向を指しているわけではありません。 この符号は、角速度が反時計方向に増加するか、時計方向に減少する場合、従来は正とされ、角速度が時計方向に増加するか、反時計方向に減少する場合、符号は負とされる。 角加速度は、片軸の反転や2軸の入れ替えなどのパリティ反転で符号が変わる数値で、擬似スカラーと呼ばれることもある＜1386＞＜4234＞3次元の粒子編集＜9117＞＜4103＞3次元では、軌道角加速度は3次元軌道角速度ベクトルの時間に対する変化率である。 瞬時角速度ベクトルω{displaystyle {boldsymbol {omega }}のことである。｝
at any point in time is given by ω = r × v r 2 {displaystyle {boldsymbol {omega }}={frac {}mathbf {r}}. \ʕ-̫͡-ʔ
,
where r {displaystyle \mathbf {r}} {displaystyle{displaystyle{displaystyle}}}があるとき。 }
は粒子の位置ベクトル、v {displaystyle \mathbf {v} } は粒子の位置ベクトルです。
はその速度ベクトルです。
したがって、軌道角加速度は、ベクトルα{displaystyle { {boldsymbol {alpha }}となる。｝
defined by α = d d t ( r × v r 2 ) {displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {d}{dt}}({}frac {}mathbf {r} \times {r^{2}})
.
この導関数を逆積の積の法則と通常の商の法則を用いて展開すると、次のようになります：
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {8003>={frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r}) \times { Θfrac {dmathbf {v} }{dt}}+{ Θfrac {dmathbf {r} }{dt }{dt}}times \mathbf {v} )-{frac {2}{r^{3}}{frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )
Since r × v {displaystyle \mathbf {r}} {displaystyle{displaystyle{displaystyle}}とする。 \♪♪～
is just r 2 ω {displaystyle r^{2}{boldsymbol {omega }}}\
, 第2項は – 2 r d r d t ω {displaystyle -{frac {2}{r}{frac {dr}{dt}}{poldsymbol {homega }} として書き直すことができる.｝
. 距離r {displaystyle r}の場合。
粒子原点が時間とともに変化しない場合（サブケースとして円運動を含む）、第2項は消失し、上式は α = r × a r 2 {displaystyle {}{Boldsymbol {}alpha }={Thrac {Mathbf {r}} に簡略化される。 \♪♪～ }{r^{2}}}}
.
上式から、この特別な場合における交差径方向加速度は次のように求められる：
a ⊥ = α × r {displaystyle \mathbf {a} _{perp }={Times \mathbf {r} } } } {{Boldsymbol {Tiethieth} } {Thomas {Thomas } } {Thomas } } {Thomas } } {Thomas {Thomas } } {Thomas } } {Thomas } {Thomas } {Thomas } } {Thomas {Thomas }
.
2次元と異なり、3次元での角加速度は角速度の変化と関連づける必要はない。粒子の位置ベクトルが空間内で「ねじれ」、その角変位の瞬間平面（すなわち 角速度ベクトルの方向が時間とともに連続的に変化するため、角速度（位置ベクトルが角度を掃き出す速度）が一定であっても、角加速度はゼロでなくなる。 これは2次元では起こりえないことで、位置ベクトルは固定された平面に制限されているため、角速度の変化はその大きさの変化でなければならない。
Relationship to TorqueEdit
点状粒子の正味トルクは、擬ベクトル
τ = r × F {displaystyle {boldsymbol {tau }}= {pathbf {r} であると定義されています。 \♪♪～ }
,
ここで、F {displaystyle \mathbf {F}} は。 }
は粒子にかかる正味の力である。
トルクは力の回転アナログであり、力がシステムの並進状態の変化を引き起こすのと同様に、システムの回転状態の変化を引き起こします。 粒子にかかる正味の力は粒子の加速度にF = m a {displaystyle \mathbf {F} =mmathbf {a}} という方程式で接続することができるため、トルクは回転力のアナログです。 }
粒子上の正味トルクと粒子の角加速度との関係も同様に構築することが期待される。 それは次のように行うことができる。
まず、F = m a {displaystyle \mathbf {F} =mathbf {a}} を代入する。 }
を上のトルクの式に入れる。 τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {displaystyle {boldsymbol {tau }}=m(\mathbf {r} \♪♪～ )=mr^{2}({}frac {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}) } となりまっせーん。
.
しかし、前節から、
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {displaystyle {boldsymbol {בpha }}={prac {}mathbf {r}} と導出されました。 \times \mathbf {a} }{r^{2}}-{{prac {2}{r}}{prac {dr}{dt}}}{boldsymbol {omega }} {boldsymbol {omega }}
,
where α {displaystyle {\boldsymbol {alpha }}} 。
は粒子の軌道角加速度、ω {displaystyle {boldsymbol {omega }} は粒子の軌道角加速度である。｝
は粒子の軌道角速度である。 したがって、τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω が成り立つ。 {8003>=mr^{2}({ {boldsymbol {alpha }}+{Cfrac {2}{r}}{Cfrac {dr}{dt}}{boldsymbol {omega }})\ \^{2}{boldsymbol {alpha }}+2mr{frac {dr}{dt}}{boldsymbol {omega }} {dr}{dt}} {boldsymbol {mega }} {dr}{dt}} {mr}{dr}{dt}} {moldsymbol {mega }}=Mr&={mr}
距離r{displaystyle r}の特殊な場合。
原点からの粒子の位置が時間とともに変化しない場合、上式の第2項は消失し、上式は τ = m r 2 α {displaystyle {}{boldsymbol {tau }}=mr^{2}{boldsymbol {alpha }} に簡略化される。
,
which can be interpreted as “rotational analogue” to F = m a {displaystyle \mathbf {F} =mmathbf {a} … }
, ここで量m r 2 {displaystyle mr^{2}} は
(粒子の慣性モーメントとして知られている) は質量 m {displaystyle m} の役割を果たす。