Du har fel om Common Core-matematik: Ledsen, föräldrar, men det är vettigare än ni tror
Vid nu har alla sett den upprörande bilden av en tredjeklassares uppsats där han får en poäng för att han säger att 5 x 3 = 5 + 5 + 5 + 5 = 15. Om du skulle ha missat det finns här videor och berättelser från flera grupper som kritiserar Common Core för detta: Business Insider, IFLScience, Huffington Post och mom.me – och jag är säker på att du kan hitta många fler eftersom fotot av det här barnets papper har blivit viralt.
Du kanske också minns fotot av en check som blev viralt för inte så länge sedan – en man fyllde i en check till sin sons skola genom att försöka skriva checkbeloppet i tio ramar. Det har funnits otaliga andra liknande foton med tillhörande hån som gått viralt via sociala medier och e-post (mer om dessa exempel om en stund).
I den nationella diskussionen om USA:s upplevda utbildningssvårigheter har Common Core Standards blivit lite av en förenande slagpåse, särskilt när det gäller matematik i grundskolan. Alla verkar älska ett foto av en provfråga, en läxuppgift eller ett korrigerat arbete som förtalar Common Core. Ni känner igen typen – frågan ber eleverna att visa ett till synes okomplicerat matteämne i grundskolan, men den kräver att svaret ska ges på vad som verkar vara ett överdrivet komplicerat sätt. Vi tittar på det och säger: ”Varför kan de inte bara göra det på det normala sättet?!”. Vi blir förskräckta över att något som vi ser som så grundläggande och elementärt framställs i ett nytt och obekant arrangemang, och vi blir upprörda när vi ser att en elevs arbete markeras ned när det verkar vara korrekt.
Den stora majoriteten av kommentarerna och bevakningen av dessa virala bilder och berättelser har varit mycket kritiska mot Common Core. Så här är det dock – all denna kritik kokar ner till en grundläggande missuppfattning av Common Core State Standards (CCSS).
Nästan varje exempel på ett av dessa angrepp på Common Core faller in i en av två kategorier:
- De personer som sprider exemplet (och slänger det i papperskorgen) missade poängen med Common Core-standarden i fråga
- Utbildaren som är ansvarig för exemplet missade poängen med Common Core-standarden i fråga
Tänk på kontrollen av tio ramar (som faller in i den första kategorin) – pappan var frustrerad över en representation av siffror som han inte var bekant med, och det passade bra in i hans förutfattade meningar om att Common Core är hemskt, och tjänar bara till att förvirra elever och föräldrar. Här finns en artikel som gör ett mer utförligt jobb med att spetsa hans svar, men i korthet är pappan upprörd för att han inte omedelbart känner igen och förstår ett begrepp som lärs ut till hans andraklassare. I stället för att försöka förstå det och förstå syftet förlöjligar han det, och andra lika frustrerade föräldrar hoppar på tåget.
I själva verket är tio ramar ett sätt att visuellt modellera vårt räknesystem som hjälper barnen att bättre förstå det. De var aldrig tänkta att ersätta vårt nuvarande sätt att skriva siffror – de är utformade som ett kompletterande hjälpmedel för att hjälpa till med en djupare förståelse. Det kan säkert vara frustrerande för föräldrarna att till en början bli förbryllade av barnens läxor, särskilt när de befinner sig i de tidigaste klasserna. Det finns säkert lärare där ute som inte alltid lyckas med en uppgift eller som misslyckas med att tillhandahålla resurser för att föräldrarna ska kunna förstå något som kanske är nytt för dem, men i slutändan får vi inte glömma att vi alla är ute efter de bästa utbildningsresultaten för våra barn. Och låt oss vara ärliga, det sätt som vi har lärt ut matematik på i generationer i Amerika har inte fungerat för alla, vilket är anledningen till att vi har en mycket stor del av vår befolkning som helt enkelt säger: ”Jag kan inte räkna matematik”. Så varför är vi då stängda för att överväga nya sätt att konceptualisera matematikens grundläggande idéer?
Tänk nu på 5 x 3-frågan. Enligt IFLScience (som jag förresten älskar) uttryckte Reddit- och Imgur-kommentatorer sin upprördhet över ”det överdrivet pedantiska ’enligt boken’-tänkandet”. Det hela läses som en anklagelse mot Common Core som kväver matematiskt tänkande till förmån för strikta och godtyckliga definitioner och algoritmer. Ändå är detta en helt felaktig tolkning av Common Core. Upprördheten är berättigad, den är bara felplacerad – det här exemplet är av den andra typen som jag nämnde ovan, där pedagogen har missförstått och tillämpat standarderna felaktigt med en alltför snäv bokstavlig tolkning av dem.
Standarden i fråga säger: ”Tolka produkter av hela tal, t.ex. tolka 5 × 7 som det totala antalet föremål i 5 grupper om 7 föremål vardera”. Den här läraren tolkade uppenbarligen denna standard som att det enda sättet att betrakta 5 x 7 (eller i fallet med uppsatsen i fråga, 5 x 3) är som 5 grupper med 7 föremål vardera. Så för 5 grupper med 3 föremål kan det se ut som 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Ändå betyder ”t.ex.” ”till exempel”, inte ”detta är den enda giltiga tolkningen”. En rimlig tolkning av standarden av en matematiskt kunnig person bör göra det möjligt att tolka 5 x 3 som 5+5+5, eller 3 grupper med 5 föremål vardera, särskilt när man betänker att fyra standarder längre ner på listan finns den som handlar om kommutering (tillsammans med andra egenskaper) vid multiplikation, t.ex. 5 x 3 är lika med 3 x 5 (observera att e.g. som jag just använde betyder att det här bara är ett exempel; egenskapen gäller för oändligt många andra talpar också – ser du hur det fungerar?). Det yttersta målet med dessa standarder är att hjälpa våra barn att utveckla sin grundläggande förståelse av vårt talsystem och grundläggande aritmetik, och om en elev intuitivt vet att 5 x 3 är lika med 3 x 5 och att de båda kan representeras som 3 rader med 5 föremål eller 5 rader med 3 föremål eller 3 staplar med 5 mynt eller 5 högar med 3 äpplen eller … ja, du fattar bilden, då har vi uppnått vårt mål!
Att tolka multiplikation på det sätt som beskrivs ovan är inte alls nytt; det är snarare ganska standard för att förstå vad multiplikation är. Kanske är idén att få eleverna att visa exemplet på papper mer av en ny företeelse, och ja, Common Core förespråkar definitivt att pedagogerna uppmuntrar eleverna att interagera med sätt att modellera de matematiska begrepp de lär sig för att bättre kunna behärska dem. Det kräver dock inte att man strikt följer snäva, godtyckligt valda tolkningar av dessa modeller, och pedagoger som fokuserar sin undervisning på det sättet gör fel.
För ett annat exempel, se den här bilden, som jag först fick i ett vidarebefordrat e-postmeddelande (den här versionen av den togs tydligen från webbplatsen för David Van Sant, en republikansk kandidat till delstatsparlamentet i Georgia som nyligen förlorade mot en republikansk kollega), om ett matematiskt problem som har blivit viralt, och som har bidragit till att elda upp folk mot Common Core.
Om man ser det vid första anblicken kan diagrammet över Common Core-metoden verka onödigt komplicerat, särskilt om man jämför med upplägget för den vanliga subtraktionsalgoritmen som vi alla har vuxit upp med (för att inte tala om att bilden visar upplägget för standardalgoritmen, men inte visar själva processen, som faktiskt inte är så enkel med de lån som kommer att krävas). De flesta kommer att titta på diagrammet med tallinjen, vid ett ögonkast se en massa steg som inte verkar vara särskilt vettiga, och acceptera det som ytterligare bevis till stöd för en redan spirande upprördhet mot Common Core, delvis tack vare en nyttig bit av bekräftelsebias.
En närmare titt på metoden kan dock avslöja att användningen av tallinjen (ett viktigt visuellt verktyg i aritmetik och algebra) gör det möjligt för denna metod att komma åt ett annat sätt att tänka på addition och subtraktion och deras förhållande till varandra – ett viktigt sätt att tänka för elever som vi vill ska förstå aritmetik på en tillräckligt djup nivå för att underlätta inlärningen av högre nivåer av matematik på ett meningsfullt sätt (vilket i huvudsak bör vara alla elever).
Om du ännu inte har förstått det andra diagrammet kan du tänka på hur folk brukade ge växel i affären (kanske en lite förlorad konst nuförtiden). Anta att du köpte något som kostade 8,27 dollar och betalade med 20 dollar. Expediten skulle börja med värdet på den köpta varan (i det här fallet 8,27 dollar) och sedan börja med växeln och föra dig först till 8,30 dollar, sedan till 50 cent-nivån, sedan till ett jämnt belopp på en dollar, sedan till ett belopp på tio dollar och så vidare, tills värdet fördes upp till de 20 dollar som du betalade med:
”Okej, 8,27 dollar, 30 cent <att lägga tre pennies i handen>, och 20 till är 50 cent <att lägga två dimes i handen>, och två fjärdedelar ger nio <att lägga två fjärdedelar i handen>, och tio <att ge en dollar>, och tio till ger tjugo <att ge en tio>.”
Ansatsen är ett helt förnuftigt sätt att ge växel för människor – den fokuserar på runda tal som vi lättare kan addera och subtrahera, och den fokuserar på subtraktionens verkliga kärna – skillnaden mellan de två refererade beloppen. I fallet med växel är det skillnaden mellan vad du skulle ha betalat och vad du betalade (med andra ord din växel). Den vertikala subtraktionsalgoritmen som vi lärde oss i skolan klargör inte detta – det är en memorerad algoritm som kan göras effektivt med penna och papper av någon som har övat på den, och den kan säkert göras begriplig genom att studera vårt talsystem i bas tio genom att betona de olika siffrornas plats och begreppet att låna när det behövs.
När det gäller att göra subtraktionsproblem som detta i huvudet misstänker jag att de flesta människor som utmärker sig i denna typ av mental matematik använder sig av en metod som liknar det diagram med tallinjer som visas (det förmodat skrattretande Common Core-exemplet). Förmågan att visualisera och dela upp problemet gör att någon lättare kan hålla reda på värdena och mer konsekvent och effektivt producera rätt resultat utan att sätta penna på papper.
Här är ett skrattretande exempel från en förälder som förlöjligar Common Core (jag hittade det här i en bildsökning på Google, men jag tror att jag minns att jag har sett det här exemplet gå runt via e-post eller Facebook):
Detta problem är lite körsbärsplockat eftersom det inte kräver någon ”utlåning” i standardalgoritmen, så detta problem är mycket lättare att lösa med den traditionella metoden. Och ändå, förälderns humor åt sidan, är poängen med tallinje-modellen inte att lära ut den mest effektiva algoritmen för att utföra subtraktion, utan att hjälpa eleverna att förstå vad subtraktion är.
Jag föreslår verkligen inte att vi inte ska lära ut den standardiserade subtraktionsalgoritmen som vi alla växte upp med, och det gör inte heller Common Core. I CCSS kallas den faktiskt för ”standardalgoritmen” för addition och subtraktion, och CCSS kräver att eleverna ska behärska den fullständigt för flersiffriga tal i slutet av fjärde klass. Jag menar inte heller att det primära målet för matematikundervisningen ska vara att eleverna ska kunna utföra komplicerad mental matematik utan att använda penna och papper. Målet med matematikundervisningen bör vara att främja en djupgående förståelse av de mekanismer som vi lär ut, och det är där som det att tvinga eleverna att lära sig en mängd olika tekniker för subtraktion, till exempel, kan göra det möjligt för eleverna att närma sig ett begrepp från en mängd olika håll, med hjälp av en mängd olika verktyg och knyta det till andra begrepp som de lär sig. Detta är, i ett nötskal, vad undervisning i matematiska förståelser på en djup nivå bör göra. Och denna variation av tillvägagångssätt för att bygga upp djupa förståelser är precis vad Common Core försöker göra.
För allt gnäll om CCSS, och i synnerhet de matematiska standarderna som folk älskar att hata med dessa bilder av obekanta metoder och modeller eller av arbete som oförklarligt nog markeras nedåt, är de faktiskt ganska bra. Tanken bakom dem – i ett försök att förbättra många av de inlärningsstandarder som fanns tidigare – är att uppmuntra till djup förståelse, och de är definitivt inriktade på det. De är inte perfekta – som matematiklärare på högstadiet har jag vissa problem med hur mycket som packas in i vissa kurser och vissa ämnen som kanske överbetonas. Men dessa saker kan justeras med tiden, utan att man behöver skrota dem helt och hållet. Eller även om de inte förbättras bör en kapabel och kompetent lärare finna att CCSS absolut är en fungerande uppsättning standarder – en förbättring jämfört med vad vi hade tidigare. Vad vi behöver, för att göra det bästa arbetet med att undervisa med dessa standarder, är den bästa möjliga gruppen av lärare, samt en starkare nationell betoning på utbildningens värde. Det sista vi behöver just nu, enligt min åsikt som utbildare, är att börja om på nytt med en ny uppsättning standarder precis när vi håller på att vänja oss vid Common Core.