Faktorsats

Faktorsats

Relaterade sidor
Remaindersats
Lösning av kubiska ekvationer
Remainder och faktor Satser
Mer algebraundervisning

Remaindersats och faktorsats

Vad är faktorsatsen?

När f(x) divideras med (x – a), får vi
f(x) = (x – a)Q(x) + resten

Från restsatsen får vi
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)

Om f(a) = 0 så är resten 0 och
f(x) = (x – a)Q(x)

Vi kan då säga att (x – a) är en faktor till f(x)

Faktorsatsen säger att
(x – a) är en faktor till polynomet f(x) om och endast om f(a) = 0

Nota att följande påståenden är ekvivalenta för varje polynom f(x).

• (x – a) är en faktor till f(x).
• Resten är noll när f(x) divideras med (x – a).
• f(a) = 0.
• Lösningen till f(x) = 0 är a.
• Nollpunkten för funktionen f(x) är a.

Exempel:
Bestäm om x + 1 är en faktor i följande polynom.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4

Lösning:
a) Låt f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Därför, x + 1 är en faktor till f(x)

b) Låt g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Därför är x + 1 inte en faktor till g(x)

Hur använder man faktorsatsen och restsatsen?

Vad teoremen är och hur de kan användas för att hitta den linjära faktoriseringen av ett polynom?

Remainder Theorem säger att om ett polynom, f(x), divideras med x – k, är återstoden lika med f(k).

Faktorsatsen säger att polynomet x – k är en faktor till polynomet f(x) om och endast om f(k) = 0.

Exempel:
Låt f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Är x – 1 en faktor?
Finn alla andra faktorer.

• Visa videolektion

Hur använder man faktorsatsen för att faktorisera polynom?

Exempel:

1. Faktor P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8

2. Faktor P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12

• Visa videolektion

Hur man hittar återstående faktorer i ett polynom?

En lektion om faktorsatsen och fullständig faktorisering av ett polynom.

1. För att lära sig sambandet mellan faktorsatsen och restsatsen.
2. För att lära sig hur man använder faktorsatsen för att avgöra om ett binom är en faktor till ett givet polynom eller inte.
3. För att använda syntetisk division tillsammans med faktorsatsen för att hjälpa till att faktorisera ett polynom.

Exempel:
Faktorisera x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18

• Visa videolektion

Användning av faktorsatsen

Hur använder man faktorsatsen för att avgöra om x – c är en faktor till polynomet f?

Exempel:

1. f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
2. f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
3. f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
4. f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
5. f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2

• Visa videolektion

Hur förklarar man faktorsatsen?

Om f(x) är ett polynom och f(p) = 0 så är (x – p) en faktor till f(x)

Om f(x) är ett polynom och f(-q) = 0 så är (x + q) är en faktor till f(x)

• Visa videolektion

Beskrivning och exempel på faktorsatsen

Exempel:
Bevisa att (x + 1) är en faktor till P(x) = x2 + 2x + 1

Är (x + 2) en faktor till x3 + 4×2 – x – 3?

• Visa videolektion

Tryck den kostnadsfria Mathway-kalkylatorn och problemlösaren nedan för att öva på olika matematiska ämnen. Prova de givna exemplen eller skriv in ditt eget problem och kontrollera ditt svar med hjälp av de stegvisa förklaringarna.