Sir Michael Atiyahs dödsruna
Sist jag träffade Michael Atiyah, som har avlidit i en ålder av 89 år, var på Tate Modern i London. Det är inte den mest sannolika platsen för att stöta på Storbritanniens troligen störste matematiker sedan Isaac Newton, men det stämmer helt och hållet med hans breda entusiasm för sitt ämne. Det var i juni 2012 och jag deltog tillsammans med honom och den flamboyanta franska matematikern Cédric Villani i en paneldiskussion: Matematik, ett vackert annorstädes. Titeln säger allt.
Vi har svavelsyra att tacka för Atiyahs beslut att bli matematiker. I början av 1940, när Storbritannien och Frankrike slogs om hans hemland Libanon, skickade hans föräldrar honom till Victoria College i Kairo. I en intervju 1984 berättade han att han där blev mycket intresserad av kemi, men att han så småningom bestämde sig för att det inte var något för honom att göra ”svavelsyra och allt sånt”: ”Listor med fakta, bara fakta …”. Från och med den tiden blev matematik hans passion. ”Jag har aldrig allvarligt övervägt att göra något annat.” Atiyahs arbete kom att ha ett djupt inflytande på dagens matematik.
Atiyah var en geometer, i betydelsen visuellt tänkande allierat med abstrakt symbolik, en ny attityd som svepte genom matematiken i mitten av 1900-talet. Man tänkte på det som geometri men skrev om det som algebra, och mycket esoterisk algebra dessutom. Hans forskning delas in i fyra huvudperioder, som till viss del överlappar varandra – på 1950-talet algebraisk geometri, på 60-talet och i början av 70-talet K-teori, från 60-talet till 80-talet indexteori och från slutet av 70-talet till mitten av 80-talet gauge-teori, där hans idéer fick ett oerhört stort inflytande inom kvantfysiken.
Algebraisk geometri utvecklades ursprungligen från en djupgående koppling mellan geometri och algebra, som förespråkades på 1600-talet av René Descartes. Börja med Euklids plan och introducera koordinater – talpar som beskriver var en punkt befinner sig, ungefär som latitud och longitud bestämmer en punkt på jordens yta. Geometriska egenskaper hos kurvor kan sedan beskrivas med algebraiska ekvationer, så frågor inom geometrin kan hanteras med hjälp av algebra och vice versa.
I slutet av 1800-talet och början av 1900-talet dök det upp ett nytt barn på det matematiska blocket: topologi, där geometriska former kan deformeras som om de vore gjorda av gummi. Klassiska egenskaper som längder och vinklar förlorar sin betydelse och ersätts av begrepp som att de är sammankopplade, knutna eller har ett hål som en munk.
Topologi visade sig vara grundläggande för många områden inom matematiken. Tekniker utarbetades för att associera olika ”invarianter” till ett topologiskt rum, vilka avslöjar när rum kan eller inte kan deformeras till varandra.
En av de mest kraftfulla invarianterna, homologi, fastställdes av Emmy Noether, den största kvinnliga matematikern i slutet av 1800-talet och början av 1900-talet. Hon omtolkade, i termer av abstrakt algebra, rudimentära metoder för att räkna egenskaper som t.ex. antalet hål i en yta.
Noether förklarade i själva verket att vi förutom att räkna hål och tillhörande strukturer även kan fråga hur de kombineras och utvinna topologisk information ur svaret.
Atiyah började sin forskarkarriär inom algebraisk geometri, men under inflytande av sin handledare, William Hodge, i Cambridge övergick han snabbt till ett angränsande område, differentialgeometri, som studerar begrepp som krökning – hur ett rum avviker från Euklides platta plan. Där gjorde han stora framsteg i samspelet mellan algebraisk geometri, differentialgeometri och topologi.
Euklids undersökningar av en cirkel omfattar dess tangenter: raka linjer som berör den i en punkt, som en väg som stöder ett cykelhjul. På samma sätt har en sfär en familj av tangentplan, ett för varje punkt på dess yta. En allmän familj av detta slag kallas för ett vektorbundel: ”bunt” eftersom sfären binder samman alla plan och ”vektor” eftersom högre dimensionella analoger av linjer och plan kallas vektorrum.
Topologin hos ett vektorbunt ger information om det underliggande rummet. Tangenterna till en cirkel bildar till exempel en cylinder. Som bevis: rotera varje tangentlinje i en rät vinkel, utanför cirkelns plan, och du får en cylinder. Det finns ett annat vektorbunt förknippat med en cirkel, där linjerna är vridna för att bilda det berömda Möbiusbandet, en yta som topologiskt skiljer sig från en cylinder eftersom den bara har en sida. Atiyah tillämpade dessa idéer på ”elliptiska kurvor”, faktiskt munkformade ytor med intressanta talteoretiska egenskaper.
Hans nästa ämne, K-teori, är en långtgående utvidgning av Noethers homologiinvariant. En cylinder och ett Möbiusband är topologiskt skilda eftersom deras tillhörande buntar har olika vridningar. K-teorin utnyttjar vektorbuntar för att fånga högre dimensionella analoger av sådana vridningar.
Temat genomgick en period av snabb utveckling på 60-talet, stimulerat av anmärkningsvärda kopplingar till andra viktiga områden inom matematiken, och det försåg topologer med en kraftfull verktygslåda av invarianter.
Atiyah, ofta tillsammans med andra ledande matematiker, var en drivande kraft bakom denna utveckling. Viktiga teman var René Thoms kobordismteori (hur en cirkel delas upp i två när man rör sig nedåt i ett par byxor från midjan till benhålen, vilket endast görs för flerdimensionella rum) och periodicitetssatsen, som först bevisades av Raoul Bott, som visar att högre K-grupper upprepar sig i en cykel med längden åtta.
Indexteorin har sitt ursprung i observationen att topologiska egenskaper i ett landskap, t.ex. antalet bergstoppar, dalar och pass, är relaterade till varandra. För att bli av med en topp genom att platta ut den måste man också bli av med ett pass, till exempel. Indexet organiserar sådana fenomen och kan under lämpliga omständigheter användas för att bevisa att en bergstopp måste finnas i en viss region.
Ett landskap är en metafor för grafen för en matematisk funktion, och en svepande generalisering relaterar antalet lösningar på en differentialekvation till ett mer esoteriskt topologiskt index.
Differentialekvationer relaterar olika storheters förändringshastigheter till varandra och är allestädes närvarande inom matematisk fysik; Atiyah-Singer Index Theorem, som bevisades tillsammans med den amerikanske matematikern Isadore Singer 1963, avslöjar ett mycket betydelsefullt samband mellan ett topologiskt index och lösningarna på en differentialekvation.
I en lämplig matematisk miljö kan detta leda till ett bevis för att en lösning måste existera, så Atiyah-Singer-indexet har omfattande tillämpningar inom fysiken. Fyrtio år efter upptäckten tilldelades paret 2004 tillsammans Abelpriset av Norges vetenskaps- och bokstavsakademi.
Gauge-teorin uppstod inom fysiken och formaliserade vissa symmetrier hos kvantfält och partiklar. Det första exemplet uppstod i James Clerk Maxwells ekvationer för det elektromagnetiska fältet (1861), där vissa matematiska transformationer kan tillämpas utan att fysiken förändras.
1954 utvidgade Chen Ning Yang och Robert Mills denna idé till den starka växelverkan, som håller samman varje kvantpartikel i atomkärnan. Symmetri visade sig vara avgörande för kvantmekaniken – till exempel verkar den nyligen upptäckta Higgsbosonen, som ger partiklar massa, genom att bryta vissa symmetrier – och mätarsymmetrier har enorm betydelse.
Atiyah bidrog med viktiga idéer till deras matematik och använde sin indexteori för att studera instantoner (partiklar som blinkar in i tillvaron och omedelbart blinkar ut igen) och magnetiska monopoler (partiklar som en nordlig magnetisk pol utan någon motsvarande sydpol).
1983 använde hans doktorand Simon Donaldson dessa idéer för att bevisa en anmärkningsvärd sats: tvärtemot vad nästan alla topologer förväntade sig har det fyrdimensionella rummet oändligt många distinkta differentierbara strukturer – helt olika i detta avseende från alla andra dimensioner. Det bredare sammanhanget för allt detta arbete är supersträngteorin, en förmodad förening av kvantteorin och Albert Einsteins relativitetsteori.
Atiyah föddes i London som ett av fyra barn till Edward, en libanesisk statstjänsteman, och hans hustru Jean (född Levens), som föddes i Yorkshire av skotsk härkomst. Familjen flyttade till Khartoum, Sudan, där Michael gick i skolan innan han gick på Victoria College i Kairo och sedan flyttade till Manchester Grammar School vid 16 års ålder för att förbereda sig för Cambridge. Han var alltid intresserad av matematik. En inspirerande lärare introducerade honom till projektiv geometri och William Rowan Hamiltons algebra av kvaternioner, och han läste om talteori och gruppteori – allt detta påverkade tydligt hans senare matematiska intressen.
1949, efter två års militärtjänstgöring, studerade han vid Trinity College i Cambridge och stannade kvar där för att disputera. Han innehade tjänster vid Institute for Advanced Study i Princeton (inklusive en professur 1969-72) samt vid Cambridge och Oxford, där han var Savilian professor i geometri 1963-69 och Royal Society research professor 1973-90. Han blev ledamot av Royal Society 1962 och var dess ordförande 1990-1995. År 1966 fick han en Fields medalj, den högsta utmärkelsen för en matematiker. 1990 blev han master of Trinity College, Cambridge, och direktör för Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge. Han adlades 1983 och blev medlem av Order of Merit 1992. Efter att ha dragit sig tillbaka från Trinity 1997 flyttade han med sin fru Lily (född Brown), som han gifte sig med 1955, till Edinburgh.
Atiyah var alltid en ivrig förespråkare för allmänhetens engagemang och höll populära föredrag om matematikens skönhet och sin livslånga passion för ämnet. Liten och kompakt, med ett tyst och precist tal, kunde han ändå hålla en publik trollbunden. Det är så jag minns honom, den där dagen i Tate Modern, när han berättade för icke-matematiker varför vi gör det, vad det tjänar till och hur det känns.
Han och Lily hade tre söner: John, David och Robin. John dog i en klättringsolycka 2002 och Lily dog förra året. Michael efterlämnar David och Robin.
– Michael Francis Atiyah, matematiker, född den 22 april 1929; död 11 januari 2019
{{topLeft}}
{{bottomLeft}}
{{topRight}}
{{bottomRight}}
{{/goalExceededMarkerPercentage}}
{{/ticker}}
{{heading}}
{{#paragraphs}}
{{.}}
{{/paragraphs}}}{{highlightedText}}
- Dela på Facebook
- Dela på Twitter
- Dela via e-post
- Dela på LinkedIn
- Dela på Pinterest
- Dela på WhatsApp
- Dela på Messenger
.