Vinkelacceleration
Partikel i två dimensionerRedigera
I två dimensioner är vinkelaccelerationen i omloppsbanan den hastighet med vilken partikelns tvådimensionella vinkelhastighet i omloppsbanan runt origo ändras. Den momentana vinkelhastigheten ω vid varje tidpunkt ges av
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}}
,
där r {\displaystyle r}
är avståndet från origo och v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
är den tvärradiala komponenten av den momentana hastigheten (dvs. den komponent som är vinkelrät mot positionsvektorn), som enligt konvention är positiv för rörelse moturs och negativ för rörelse medurs.
Därmed ges partikelns momentana vinkelacceleration α av
α = d d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})}
.
Expandera den högra sidan med hjälp av produktregeln från differentialräkning, blir detta
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}}}
.
I det speciella fallet där partikeln genomgår en cirkelrörelse runt ursprunget, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}
blir bara den tangentiella accelerationen a ⊥ {\displaystyle a_{{\perp }}}
, och d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
försvinner (eftersom avståndet från ursprunget förblir konstant), så ovanstående ekvation förenklas till α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}}
.
I två dimensioner är vinkelacceleration ett tal med plus- eller minustecken som anger orientering, men som inte pekar i en riktning. Tecknet tas konventionellt som positivt om vinkelhastigheten ökar i motsatt riktning eller minskar i riktning moturs, och tecknet tas som negativt om vinkelhastigheten ökar i riktning moturs eller minskar i riktning moturs. Vinkelaccelerationen kan då betecknas som en pseudoskalär, en numerisk storhet som byter tecken vid en paritetsinversion, t.ex. genom att en axel inverteras eller att de två axlarna byts ut.
Partikel i tre dimensionerRedigera
I tre dimensioner är den orbitala vinkelaccelerationen den hastighet med vilken den tredimensionella orbitala vektorn för vinkelhastighet förändras med tiden. Den momentana vinkelhastighetsvektorn ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
vid varje tidpunkt ges av ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
där r {\displaystyle \mathbf {r} }
är partikelns positionsvektor och v {\\displaystyle \mathbf {v} }
är dess hastighetsvektor.
Därmed är banans vinkelacceleration vektorn α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
definierad genom α = d d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}={\frac {d}}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}
.
Om man utvidgar detta derivat med hjälp av produktregeln för korskopplade produkter och den vanliga kvotregeln får man:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}}
Då r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
är bara r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}
, den andra termen kan skrivas om till – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}}
. I det fall där avståndet r {\displaystyle r}
av partikeln från ursprunget inte ändras med tiden (vilket inkluderar cirkelrörelse som ett underfall), försvinner den andra termen och ovanstående formel förenklas till α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Från ovanstående ekvation kan man återskapa den tvärradiala accelerationen i detta specialfall som:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }
.
Till skillnad från i två dimensioner behöver vinkelaccelerationen i tre dimensioner inte vara förknippad med en förändring av vinkelhastigheten: Om partikelns positionsvektor ”vrider” sig i rummet så att dess ögonblickliga plan för vinkelförskjutning (dvs. det momentana planet där positionsvektorn sveper ut vinkeln) kontinuerligt förändras med tiden, så även om vinkelhastigheten (dvs. hastigheten med vilken positionsvektorn sveper ut vinkeln) är konstant, kommer det fortfarande att finnas en vinkelacceleration som inte är lika med noll eftersom riktningen för vinkelhastighetsvektorn kontinuerligt förändras med tiden. Detta kan inte ske i två dimensioner eftersom positionsvektorn är begränsad till ett fast plan så att varje förändring av vinkelhastigheten måste ske genom en förändring av dess magnitud.
Vinkelaccelerationsvektorn kallas mer korrekt för en pseudovektor: Den har tre komponenter som transformeras under rotationer på samma sätt som de kartesiska koordinaterna för en punkt, men som under reflektioner inte transformeras som kartesiska koordinater.
Relation till vridmomentRedigera
Nettovridmomentet på en punktpartikel definieras som pseudovektorn
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }
,
där F {\displaystyle \mathbf {F} }
är nettokraften på partikeln.
Momentet är den rotationsmässiga motsvarigheten till kraften: det inducerar en förändring i ett systems rotationstillstånd, precis som kraften inducerar en förändring i ett systems translationstillstånd. Eftersom nettokraften på en partikel kan kopplas till partikelns acceleration genom ekvationen F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, kan man hoppas kunna konstruera en liknande relation som förbinder nettomomentet på en partikel med partikelns vinkelacceleration. Detta kan göras på följande sätt:
Först ersätter man F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
i ovanstående ekvation för vridmoment, får man τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}})}
.
Men från det föregående avsnittet har det härletts att
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}-{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}}}
,
här α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
är partikelns vinkelacceleration i omloppsbanan och ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
är partikelns vinkelhastighet i omloppsbanan. Därför följer att τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
I det speciella fallet där avståndet r {\displaystyle r}
partikelns avstånd från ursprunget inte förändras med tiden, försvinner den andra termen i ovanstående ekvation och ovanstående ekvation förenklas till τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}.
,
vilket kan tolkas som en ”rotationsanalog” till F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, där kvantiteten m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(känd som partikelns tröghetsmoment) spelar rollen som massan m {\displaystyle m}
Men till skillnad från F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
är denna ekvation inte tillämplig på en godtycklig bana. Sammanfattningsvis är det allmänna sambandet mellan vridmoment och vinkelacceleration nödvändigtvis mer komplicerat än sambandet mellan kraft och linjär acceleration.